Детский электромобиль JAGUAR

Детский электромобиль JAGUAR

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат


Математика. Примеры решений контрольной, курсовой, типовых заданий Математика

Скалярное поле. Градиент. Производная по направлению

Говорят, что в двумерной области DxOy задано скалярное поле, если в каждой точке M(x, y) Î D задана скалярная функция координат точки:

U(M) = U(x, y).

Пример: скалярное поле температур T(x, y) в области D.

Линии уровня скалярного поля – это такие линии, на каждой из которых функция U(x, y) сохраняет постоянное значение.

Уравнения линий уровня скалярного поля: U(x, y) = const.

Геометрически линии уровня получаются, если поверхность z = U(x, y) пересекать горизонтальными плоскостями z = С и проектировать линии пересечения на плоскость xOy.

Градиентом скалярного поля U(x, y) в фиксированной точке  называется вектор, проекции которого на оси координат совпадают с частными производными функции, вычисленными в точке М0:

, (7)

где векторы  – это орты координатных осей.

Вектор градиента  направлен перпендикулярно касательной к линии уровня, проходящей через точку М0. Направление градиента указывает направление наибольшего роста функции U(x, y) в точке М0 .

Отложим от фиксированной точки M0(x0, y0) некоторый вектор .

Скорость изменения скалярного поля U(x, y) в направлении вектора характеризует величина , называемая производной по направлению.

Если в прямоугольной системе координат xОy вектор  имеет направляющие косинусы cosa и cosb, то производная функции U(x, y) по направлению вектора  в точке М0 – число   – можно найти по формуле:

, (8)

Напомним формулы для вычисления направляющих косинусов вектора :

, где модуль вектора: .

Аналогично определяют скалярное поле U(M) в трехмерной области V:

U(M) = U(x, y, z), . Поверхности уровня скалярного поля – это такие поверхности, на каждой из которых функция U(x, y, z) сохраняет постоянное значение. Уравнения поверхностей уровня скалярного поля: U(x, y, z) = const.

Градиент скалярного поля U(x, y, z) в произвольной точке M(x, y, z):

, (9)

где векторы  – это орты координатных осей.

 Вектор  поля U(x, y, z) направлен параллельно нормали к поверхности уровня U(x, y, z) = const в точке М.

ЗАДАНИЕ для САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

 

1. Разложить функцию  по формуле Тейлора в окрестности точки  до членов второго порядка включительно.

2. Функцию  представить в виде суммы степеней разностей , , .

3. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки  функцию  при .

4. Вычислить приближенно значение функции  в точке , взяв в формуле Тейлора .

5. Вычислить приближенно значение функции

  в точке ,
используя формулу Тейлора при .

Ответы. 1. ; применяем формулу , , . Погрешность приближенного равенства , где .

2.

; используем формулу Тейлора для  в окрестности точки  при .

3. , где .

4. .

5. .