Детский электромобиль JAGUAR

Детский электромобиль JAGUAR

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат


Математика. Примеры решений контрольной, курсовой, типовых заданий Математика

Справочный материал к выполнению контрольной работы №2

Потенциальные и соленоидальные векторные поля

Ротор векторного поля

Ротором (вихрем) векторного поля  называется вектор

.

Ротор – это векторная величина, которая является дифференциальной характеристикой векторного поля. Всякое векторное поле  сопровождается другим векторным полем   его роторов.

Для вычисления ротора удобно использовать его запись в форме определителя:

,  (19)

где вектор  – это векторно-дифференциальный оператор, называемый оператором Гамильтона или оператором «набла». При вычислении определителя умножению его элементов  на функции P, Q, R соответствует операция дифференцирования: ,   и т.д.

Потенциальное векторное поле и его потенциал

Векторное поле  называется потенциальным, если существует такая скалярная функция U(x, y, z), что . Функция U называется потенциалом векторного поля .

Из определения следует, что потенциальное векторное поле – это поле градиентов некоторого скалярного поля U(M) = U(x, y, z).

Пусть векторное поле  задано в некоторой области V.

Область V называется  односвязной, если любой замкнутый контур (кривую), лежащий в ней, можно путем непрерывной деформации стянуть в точку, не выходя за пределы данной области. Для плоской области D односвязность означает, что для любого замкнутого контура, лежащего в ней, ограниченная этим контуром часть области целиком принадлежит D.

Потенциальность векторного поля, заданного в односвязной области V, определяется при помощи его ротора: если во всех точках области V ротор векторного поля  – нулевой вектор, то это векторное поле является потенциальным.

Важное свойство потенциальных полей заключается в том, что если   – потенциальное векторное поле, заданное в некоторой односвязной области V, то выражение

 является полным дифференциалом функции U(x, y, z). В этом случае криволинейный интеграл вида

вдоль любой кривой ВС, принадлежащей V, не зависит от формы кривой и равен разности потенциалов в конечной и начальной точках:

.

Это свойство можно использовать для нахождения потенциала векторного поля при помощи криволинейного интеграла II рода. Для этого нужно взять фиксированную точку В(x0, y0, z0) и произвольную (текущую) точку С(x, y, z) и вычислить криволинейный интеграл по пути ВС:

.

При этом получаем потенциал U(x, y, z) векторного поля   с точностью до произвольного постоянного слагаемого.

 В качестве пути интегрирования ВС обычно выбирают ломаную ВEKC (рис. 8), звенья которой параллельны осям координат и E(x, y0, z0), K(x, y, z0).

В этом случае потенциал U(x, y, z) находят по формуле:

. (20)

Если в односвязной области задано потенциальное векторное поле силы

,

то с помощью потенциала можно найти работу силы  при перемещении единичной массы из одной заданной точки M этой области в другую точку N как разность значений потенциалов в этих точках:

. (21)

Соленоидальное векторное поле

Векторное поле  называется соленоидальным, если существует такое векторное поле , для которого поле является полем его роторов: .

Поле  называется векторным потенциалом векторного поля .

Практически соленоидальность векторного поля определяется при помощи его дивергенции: если во всех точках односвязной области V дивергенция векторного поля равна нулю, то это векторное поле является соленоидальным.

ФНП   рассматривается на некотором множестве , , . Пусть  – ограниченное, связное и замкнутое множество точек из ; впредь для краткости такое множество  будем называть фигурой . Интеграл ФНП по фигуре  строится в зависимости от количества независимых переменных ФНП и структуры (вида) фигуры . Так, например, в школьном курсе математики содержится первоначальное понятие определенного интеграла  функции , , . Здесь функция имеет одну независимую переменную, фигура  – отрезок.

Для функции двух переменных , очевидно, интеграл можно строить на дуге  или на плоской области , , . Функция трех переменных может рассматриваться на дуге ,
на части криволинейной (может быть и прямолинейной) поверхности , на "теле" , здесь , ,  – подмножества  и т.д.

Перечисленные множества (фигуры) различаются размерностью. Под словами размерность фигуры понимаем количество координат (чисел), необходимых для задания точки на фигуре.
Отрезок , дуга  в  или в  имеют размерность  
(одноразмерные фигуры); плоская область ,  и часть
поверхности ,  – двухразмерные фигуры; "тело"  – трехразмерная фигура.

Перечисленные множества (фигуры) различаются размерностью. Под словами размерность фигуры понимаем количество координат (чисел), необходимых для задания точки на фигуре.
Отрезок , дуга  в  или в  имеют размерность  
(одноразмерные фигуры); плоская область ,  и часть
поверхности ,  – двухразмерные фигуры; "тело"  – трехразмерная фигура.