Детский электромобиль JAGUAR

Детский электромобиль JAGUAR

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат


Математика. Примеры решений контрольной, курсовой, типовых заданий Математика

Решение примерного варианта контрольной работы №1

Задача 1. Дана функция z = cos2(2x – y). Требуется:

1) найти частные производные  и ;

2) найти полный дифференциал dz;

3) показать, что для данной функции справедливо равенство: .

Решение.

1) При нахождении  считаем аргумент y постоянным:

= (cos2(2x – y)) = 2cos(2x – y)(cos(2x – y)) =

= 2cos(2x – y)(–sin(2x – y))(2x – y) = –2cos(2x – y)sin(2x – y)((2x) – (y)) =

= – 2cos(2x – y)sin(2x – y)(2 – 0) = –sin(2(2x – y))2 = –2sin(4x – 2y).

При нахождении  считаем аргумент x постоянным:

  = (cos2(2x – y)) = 2cos(2x – y)(cos(2x – y)) =

= 2cos(2x – y)(–sin(2x – y))(2x – y) = –2cos(2x – y)sin(2x – y)((2x) – (y)) =

= – sin(2(2x – y))(0 – 1) = sin(4x – 2y).

2) По формуле (1) находим полный дифференциал функции:

dz =  = –2sin(4x – 2y)dx + sin(4x – 2y)dy.

3) Найдем смешанные частные производные второго порядка.

Для того, чтобы найти , дифференцируем  по у:

  =  = (–2sin(4x – 2y)) = [считаем x постоянным] =

= – 2cos(4x – 2y)(4x – 2y) = – 2cos(4x – 2y)(0 – 2) = 4cos(4x – 2y).

Для того, чтобы найти , дифференцируем  по x:

  =  = (sin(4x – 2y)) = [считаем y постоянным] =

= cos(4x – 2y)(4x – 2y) = cos(4x – 2y)(4 – 0) = 4cos(4x – 2y).

Получили:  = 4cos(4x – 2y),  = 4cos(4x – 2y)  .

Ответы: 1) = –2sin(4x – 2y);  = sin(4x – 2y);

2) dz = –2sin(4x – 2y)dx + sin(4x – 2y)dy;

3) равенство  выполнено.

Теорема (необходимое условие существования определенного интеграла )

Если функция интегрируема (по Риману) на отрезке, то она
ограничена на нем.

Доказательство. Пусть  интегрируема на , т.е. существует . Покажем ограниченность функции  на , т.е.

.

Предположим, что  не ограничена на . Тогда

.

При ,   можно построить последовательность :   и . Поэтому можно указать такое
разбиение   отрезка  и провести выбор чисел  так, что интегральная сумма   примет значение больше любого наперед заданного числа, т.е. определение определенного интеграла не выполнится.

Итак, только для ограниченной на  функции  существует интеграл .

Заметим, однако, что не для всякой ограниченной на  функции  существует интеграл, т.е. требование ограниченности функции является НЕОБХОДИМЫМ, но не является ДОСТАТОЧНЫМ условием интегрируемости функции.

Задача . Дана функция z = cos2(2x – y). Требуется: 1) найти частные производные  и ; 2) найти полный дифференциал dz;