Детский электромобиль JAGUAR

Детский электромобиль JAGUAR

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат


Математика. Примеры решений контрольной, курсовой, типовых заданий Математика

Интегрирование дробно-рациональной функций

ПРИМЕР 1. Разложить на простейшие дроби рациональную дробь .

РЕШЕНИЕ. Прежде всего проверяем, является ли дробь  правильной. Для этого сравниваем степени числителя  и знаменателя :  и дробь  – правильная.

Знаменатель разложим на множители: , причем трехчлен имеет комплексные корни , а поэтому не разлагается на линейные множители.  – несократимая дробь, так как  и   не являются корнями числителя.

Итак, для дроби  применима теорема 2.

Множителю  в знаменателе соответствует сумма простейших дробей , а множителю  – одна простейшая дробь вида . По теореме 2 должно быть справедливо тождество , , из которого находятся коэффициенты . Для этого приведем сумму дробей в правой части тождества к общему знаменателю, получим дробь, тождественно равную дроби , и тогда при равных знаменателях числители дробей обеих частей тождества должны быть равными:

.

Но тогда у этих многочленов совпадают коэффициенты при одинаковых степенях : Предел и непрерывность функции нескольких переменных Математика примеры решения задач

 –

– система линейных алгебраических уравнений относительно , .

Решив эту систему, находим ; ; ;  и .

Способ отыскания неопределенных коэффициентов в этом
примере можно назвать способом сравнения коэффициентов при одинаковых степенях аргумента .

ПРИМЕР 2. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Здесь подынтегральная функция – несократимая
правильная дробь, знаменатель ее уже разложен на множители. Разложение на простейшие дроби имеет вид

.

Чтобы найти коэффициенты  этого разложения, приводим сумму дробей в правой части равенства к общему знаменателю и приравниваем числители дробей слева и справа:

.

Далее, вместо способа сравнения коэффициентов, применим способ частных значений . Он состоит в том, что тождество рассматривается при конкретных значениях ; эти значения выбираются так, чтобы получающиеся числовые равенства содержали как можно меньше неопределенных коэффициентов. Такими значениями являются корни знаменателя  данной дроби. В нашем случае:

при   ;

при   ;

при   .

Получим

.

Способ частных значений особенно эффективен тогда, когда  имеет только простые действительные корни.

Итак, на примерах показан следующий алгоритм интегрирования правильной рациональной дроби.

Если дробь  – неправильная, то следует представить ее в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби (выделить целую часть).

Разложить знаменатель дроби на множители – линейные и квадратичные (неразложимые на линейные с действительными коэффициентами), проверить несократимость
правильной рациональной дроби.

Разложить правильную рациональную дробь на простейшие дроби методом неопределенных коэффициентов.

Проинтегрировать простейшие дроби.

Записать ответ.

ПРИМЕР 3. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. 1. Выделим целую часть дроби, для этого делим многочлены

Получаем .

2. Разложим знаменатель дроби на множители

.

3. Поскольку правильная рациональная дробь  несократима, то для нее верно представление

,

из которого, приравнивая числители дробей обеих частей равенства (после приведения к общему знаменателю в правой части), получаем тождество

.

Неизвестные коэффициенты находим комбинированным способом. Сначала применяем способ частных значений:

при  ;

при   .

По способу сравнения коэффициентов выявляем в правой части тождества коэффициент при   (это легко сделать) и свободный член (для этого, в частности, можно положить ), приравниваем их соответственно нулю и числу 24. Решаем полученную систему
уравнений , , используя уже найденные значения неизвестных. Получим , .

4. Интегрируем простейшие дроби:

.

5. Окончательно

.