Математика. Примеры решений контрольной, курсовой, типовых заданий Математика

Предел, непрерывность ФНП

ПРИМЕР 1. Доказать по определению .

Решение. Берем . Ищем  так, чтобы

.

Верно соотношение

формулы Тейлора; существуют различные формы записи для , например,  – бесконечно малая при  функция более высокого порядка малости,
чем . Двойное векторное произведение. Двойное векторное произведение векторов , ,  это произведение вида . Выразим двойное векторное произведение через скалярное.

Для функции двух переменных при  формула Тейлора имеет вид

,

где ;

;

, , .

ПРИМЕР 1. Разложить функцию  
в окрестности точки   по формуле Тейлора при .

Решение. Поскольку

,

то вычисляем ;

,

где ; ; ;

.

Окончательно получаем

 ,

где .

Формула Тейлора позволяет вычислять приближенно значение функции с любой наперед заданной точностью. Погрешность может быть установлена с помощью оценки остаточного члена.

ПРИМЕР 2. Вычислить приближенно , используя формулу Тейлора для функций  в точке .

Решение. Ищем значение функции  в точке , т.е. ; ; , причем

.

Рассмотрим сначала приближение при , т.е. . Для этого вычислим

;  и ;

  и ;

  и .

Получаем  с погрешностью не ниже (не хуже) чем .

При   , поэтому
вычисляем частные производные второго порядка функции в точке  и  при указанных значениях , , .

  и ;

  и ;

  и ;

и  ;

  и ;

  и , т.е.

.

Окончательно получаем

;

при этом гарантируется погрешность , где , т.е. .

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ ФНП

Сложная ФНП, как и сложная функция одного переменного, есть суперпозиция двух или нескольких функций. Например, сложная функция , определенная на множестве , понимается как суперпозиция "внешней" функции  и "внутренних" функций , , определенных на множестве . При этом множество значений

совпадает с областью определения функции . Переменные ,  называем независимыми; ,  – промежуточными.

Число независимых и промежуточных переменных может быть различным.

Рассмотрим теорему о дифференцируемости сложной функции , . Ее доказательство и формула производной сложной функции может быть распространена на другие
виды сложной ФНП.

Для вычисления производных сложной функции в общем случае нужно: 1) сложную функцию дифференцировать по независимым
переменным; 2) установить число независимых переменных (что
соответствует количеству возможных частных производных первого порядка сложной функции); 3) определить число промежуточных переменных (т.е. количество слагаемых в формуле для значения
каждой частной производной сложной функции).

Производная сложной ФНП по независимому переменному равна сумме произведений производной внешней функции по каждому из промежуточных переменных, умноженной на производную этого промежуточного переменного по соответствующему независимому аргументу.

Прежде чем вычислять производную сложной функции, рекомендуется сначала написать формулу в общем виде, а затем
подставить конкретные функции. Например, , где  – сложная функция,  имеет один независимый аргумент  и два промежуточных аргумента   и , поэтому производная сложной функции по ее независимому аргументу имеет вид  или ; обращаем внимание на
различие знаков   и .

ПРИМЕР. Написать формулы для производных сложных функций:

а) , ; б) , , ;

в) , , , , .

Ответ. а) промежуточная переменная –  (одна!), независимые
переменные –   (три!), поэтому имеем для сложной функции  формулы вычисления частных производных: ; ; ;

б) для сложной функции  один независимый аргумент – ; три промежуточных аргумента – . Поэтому
полная производная сложной функции по  вычисляется по формуле ;

в) аналогично имеем

.

В рассмотренных примерах предполагается, что в окончательный результат подставлены значения промежуточных переменных через независимые аргументы.