Математика. Примеры решений контрольной, курсовой, типовых заданий Математика

ПРИМЕР. Доказать, что .

РЕШЕНИЕ. Два множества совпадают, если каждое из них является подмножеством другого.

Пусть , т.е. , и , т.е.  и  (одновременно), но тогда из того, что  имеем , аналогично

, т.е. . Итак, .

С другой стороны, если , то  т.е.  отсюда имеем  и , т.е.  и поэтому .

Совпадение множеств обосновано.

По количеству элементов множества классифицируются: пустое множество, конечное и бесконечное множества.

Пусть  и – два множества (непустые). Если существует
отображение (закон)   такой, что

всякому  соответствует образ ;

всякому   соответствует прообраз , такой, что ;

различным прообразам  и   соответствуют
несовпадающие образы ,

то говорят, что правило  определяет взаимно-однозначное соответствие между множествами  и ; при этом множества называют эквивалентными и записывают ~.

Множество  – конечное, если существует натуральное число , такое, что ~.

Множество  – бесконечное, если оно не является конечным, т.е. для любого натурального числа  множество  не эквивалентно множеству .

Количественная характеристика всякого бесконечного множества, обобщающая понятие количества элементов конечного множества, – МОЩНОСТЬ множества.

Множеству всех эквивалентных множеств сопоставляется
символ – мощность. Всякие два множества имеют одинаковую
мощность, если они эквивалентны. Иногда эквивалентные множества называются равномощными.

Бесконечное множество  называется счетным, если оно эквивалентно множеству всех натуральных чисел

( – бесконечное счетное)  ( ~),

т.е. для каждого счетного множества всякий его элемент сопоставим "номеру" и только одному и при этом все "номера" исчерпаны (иногда говорят, что элементы счетного множества можно "перенумеровать").

ПРИМЕР. Множество всех четных чисел  эквивалентно множеству . В самом деле, отображение (правило)  устанавливает взаимно-однозначное соответствие между множествами  и .

ПРИМЕР. Множество всех целых чисел

эквивалентно множеству ; порядок "перенумерования" элементов множества  виден из схемы, т.е. взаимно-однозначное соответствие устанавливается равенствами:

   … ; ; ….

Некоторые свойства счетных множеств:

Из всякого бесконечного множества можно выделить счетное подмножество. Например, .

Произвольное непустое подмножество счетного множества либо конечное, либо счетное. Например, множество  и множества  и .

Если из произвольного счетного множества удалить (или к счетному множеству присоединить) произвольное конечное множество, то полученное множество вновь счетное. Например, множество  – счетное.