Детский электромобиль JAGUAR

Детский электромобиль JAGUAR

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат


Математика. Примеры решений контрольной, курсовой, типовых заданий Математика

Математическая логика

Для записи определений, теорем, математических рассуждений в курсе высшей математики целесообразно применять символику, используемую в математической логике.

Одним из первоначальных понятий математической логики является понятие "ВЫСКАЗЫВАНИЕ" – повествовательное предложение, которое может быть истинным (сокр. И) или ложным (сокр. Л).

Например, высказывание А:  (Л); здесь записано предложение "сумма чисел 1 и 2 равна числу 4", которое является неверным (ложным).

В математике рассматриваются утверждения, являющиеся
высказываниями, их истинность устанавливается с помощью доказательства. В математической логике отвлекаются от содержания
высказываний и изучают только их истинность или ложность.

Из нескольких высказываний с помощью теоретико-высказывательных связок (логических операций) можно составить новые более сложные высказывания. Обычно рассматриваются такие комбинации высказываний, в которых истинность или ложность новых высказываний определяются истинностью или ложностью
составляющих высказываний.

Далее приведены операции, их названия и для лучшего запоминания их таблицы истинности.

Некоторые операции над высказываниями

Обозначение

Название

Как читается

Значения

истинности

  или

Отрицание высказывания

не

И

Л

Л

И

Конъюнкция двух высказываний

  и 

И

И

Л

Л

И

Л

И

Л

И

Л

Л

Л

Дизъюнкция двух высказываний

  или 

И

И

Л

Л

И

Л

И

Л

И

И

И

Л

Импликация; логическое следование

если , то ;

  влечет

И

И

Л

Л

И

Л

И

Л

И

Л

И

И

Эквиваленция; эквивалентность двух высказываний

  тогда и только тогда, когда ;

  эквивалентно 

И

И

Л

Л

И

Л

И

Л

И

Л

Л

И

Заметим, что каждая логическая операция над высказываниями приводит к высказыванию, истинность или ложность которого устанавливается через истинность или ложность исходных высказываний по соответствующей таблице истинности.

ПРИМЕРЫ

Если  – истинное высказывание, то высказывание не  построится так:  или , т.е.  – ложное.

Пусть высказывания  заданы (для конкретного четырехугольника).

: Противоположные стороны  и   в четырехугольнике  параллельны, .

: Длины противоположных сторон   и  в четырехуголь-нике  равны, .

: Четырехугольник  есть параллелограмм.

Тогда , т.е. высказывание   есть конъюнкция высказываний   и , причем  – истинно тогда и только тогда, когда
истинны высказывания  и  (одновременно). Если же хотя бы
одно из высказываний  и  ложно, то их конъюнкция  так же является ложным высказыванием.

Высказывание :  ( – конкретное число) следует понимать как дизъюнкцию высказываний  и , т.е. . Причем высказывание  истинно тогда, когда хотя бы одно из высказываний  и  истинно;  ложно тогда, когда оба высказывания  и  ложные (одновременно!).

Пусть : В треугольнике  длины сторон   и  равны, ;

: В треугольнике  углы при основании  равны, .

Тогда, как известно, высказывание  истинное, т.е.
высказывания   и  эквивалентны; каждое из них может быть взято в качестве определения равнобедренного треугольника, в то время как другое высказывание выражает свойство равнобедренного
треугольника.

Рассмотрим высказывания:

: Число   делится на 10, .

: Число  делится на 5,  ( – конкретное число).

Тогда можно построить новое высказывание: если , то  (); читается так: "если число  делится (нацело) на 10, то оно делится (нацело) на 5", оно истинное.

Применяемые в математике высказывания обычно представляют собой описание свойств каких-либо математических объектов или описание отношений (взаимосвязей), существующих между этими объектами. Для описания математических ОПРЕДЕЛЕНИЙ применяется, как правило, знак логического тождества в виде , или , или  (definition – определение). Для записи математических ТЕОРЕМ применяются знаки логических операций: импликация  (если …, то …) и эквиваленция  (… тогда и только тогда,
когда …).

Математические утверждения, в которых имеются неизвестные (одно неизвестное –  или несколько – ), не обязательно являются высказываниями. Они становятся высказываниями лишь при конкретном значении этих неизвестных.

Например, неравенство  может быть И или Л при
конкретных значениях переменной  (записывают ) и
говорят, что   – высказывательная форма, соответствующая
предикату . Предикат можно определить как логическую функцию соответственно одной или нескольких переменных, принимающую значение из множества . Для задания области истинности
предиката   в рассматриваемом примере достаточно решить неравенство  или ; множество значений  – область истинности рассматриваемого предиката.

Поскольку высказывательная форма  зависит от одной
переменной, то ее называют одноместной. Нетрудно привести другие примеры одноместных, двуместных и т.д. высказывательных форм и им соответствующих предикатов.

Для описания области истинности предиката используют
КВАНТОРЫ:

  – квантор ОБЩНОСТИ, который читается "для всех", "все",
"каждый", "всякий" и т.д.;

  – квантор СУЩЕСТВОВАНИЯ, который читается "существует", "найдется", "можно указать" и т.д.

Запись   означает: для всякого элемента   из
множества  истинно утверждение .

Запись   означает: существует элемент ,
такой, что для него истинно утверждение .

Если элемент  из множества , для которого истинно высказывание , не только существует, но и единственный, то записывают .

Каждая из приведенных здесь записей, использующих кванторы, является высказыванием.

Кванторы  и   связаны между собой в смысле приведенного определения, а именно: для любого утверждения  имеет место соотношение

,

т.е. отрицание высказывания  имеет вид  (существует элемент , такой, что для него утверждение  является ложным). Аналогично

.

ПРИМЕР. Используя символику, построить отрицание высказывания .

РЕШЕНИЕ. Заданное высказывание является ложным. Его отрицание – истинное высказывание – и строится так: , например,

.

Для двуместных, трехместных и т.д. высказывательных форм отрицание соответствующих высказываний строим формально:

кванторы последовательно заменяются на противоположные;

отрицается предикат.