Математика. Примеры решений контрольной, курсовой, типовых заданий Математика

Существование предела частного функций  доказывается аналогично, если предварительно установить ограниченность функции  на некоторой окрестности .

Теорема задает лишь ДОСТАТОЧНЫЕ условия существования предела суммы, произведения и частного функций при ; может быть применена для вычисления пределов функций.

Свойства бесконечно больших (б/б) и

бесконечно малых (б/м) функций

ОПРЕДЕЛЕНИЕ (б/м функции  при )

Функция , ,  называется бесконечно малой при  (сокр. б/м), если при  она имеет нулевой, а значит, конечный предел, т.е.

( – б/м при ).

Например,  – б/м при ; заметим, что одновременно  – б/б при .

ТЕОРЕМА (об арифметике б/м функций в одной и той же точке)

Если  и   – бесконечно малые функции при , то сумма  – б/м при ;

произведение  – б/м при .

Отношение бесконечно малых  при  требует специального рассмотрения.

СРАВНЕНИЕ б/м функций при  приводит к различным возможным ситуациям, которые схематично можно описать соотношением

Здесь символ  читается " малое от ", и означает, что при   ( – б/м при ) и  какая-либо бесконечно малая при  функция , такая, что  при ; говорят, " – б/м при  большего
порядка по сравнению с б/м .

Например, если  – б/м при , то , поскольку .

ПРИМЕР.   – б/м при ;  – б/м при . Сравним эти б/м, вычисляя  Очевидно, что этот предел не существует и б/м не сравниваются при .

Подчеркнем, что сравнение бесконечно малых приводит к неоднозначному ответу, т.е. имеем дело с НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬЮ. Вычисление предела  или доказательство его отсутствия в этом случае называем "раскрытием" неопределенности.

ПЕРВЫЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ  ПРЕДЕЛ .

Сравниваем две б\м при  функции и устанавливаем их
эквивалентность .

Доказательство. Функция  – четная на , поэтому рассматриваем на . Из геометрических соображений (известно

из школы) , т.е.   на  или  на .

Далее используем теорему о пределе промежуточной функции, поскольку  – показано ранее.

ТЕОРЕМА (о представлении функции, имеющей конечный
предел при )

Для того чтобы функция  имела при  конечный
предел , необходимо и достаточно, чтобы функция   была бесконечно малой при .

Символическая запись: 

.

Доказательство  рекомендуем провести самостоятельно. Оно следует из применения определения конечного предела функции.

В теореме указано необходимое и (одновременно) достаточное условие существования конечного предела функции, поэтому она – КРИТЕРИЙ существования конечного предела функции при .

ТЕОРЕМА (о произведении б/м на ограниченную функцию)

Произведение функции б/м при  на функцию, ограниченную на , есть функция б/м при .

Доказательство. Пусть  – ограниченная на  функция,, т.е. .

Пусть   – б/м при , т.е.

.

Тогда на окрестности  верно неравенство

.

Итак, , т.е. .

ПРИМЕР. , поскольку   – б/м последовательность,  – ограниченная последовательность.

Обратное утверждение неверно.

Контрпример.  – б/м при , но , и здесь  не является ограниченной в .

ТЕОРЕМА (о связи б\м и б\б)

Пусть  в . Тогда ( – б/м при )

  ( – б/б при ).

Доказать самостоятельно.

ПРИМЕР. Последовательность  может быть преобразована к виду , и тогда  вычисляется с помощью арифметических действий над бесконечно малыми последовательностями.

Арифметика бесконечно больших функций (последовательностей), как правило, приводит к неопределенностям, их иногда удается раскрыть, используя расширенную теорему о связи б/м и б/б).

конечным.