Детский электромобиль JAGUAR

Детский электромобиль JAGUAR

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат


Математика. Примеры решений контрольной, курсовой, типовых заданий Математика

Различные определения непрерывности функции в точке

Эквивалентность определений либо следует из эквивалентности определений конечного предела функции, либо может быть установлена.

Пусть . Тогда эквивалентны следующие определения непрерывности функции в точке.

Через пределы: ( – непрерывна в точке )

  .

Определение по Коши (на языке ):

( – непрерывна в точке )

.

Определение через приращения.

Обозначим  – приращение аргумента,  – приращение функции в точке  соответствующее . Тогда

( – непрерывна в точке ).

Определение по Гейне (через последовательности).

( – непрерывна в точке )

.

Через односторонние пределы:

( – непрерывна в точке )

.

2.4.  НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ НА МНОЖЕСТВЕ

Функция , , называется непрерывной на множестве , или говорят, что функция   принадлежит множеству всех функций, непрерывных на множестве  (сокр. ), если она непрерывна в каждой точке множества .

Например, функция  непрерывна на множестве , но не является непрерывной на , поскольку в точке  она не задана.

Если функцию доопределить при , то  – точка разрыва второго рода.

Выделим свойства функций, непрерывных на отрезках
(на сегментах).

ТЕОРЕМА 1 ВЕЙЕРШТРАССА

Всякая функция, непрерывная на сегменте, ограничена на нем, т.е. , ; .

Приведем пример функции (заданной для удобства графически), иллюстрирую-щей содержание теоремы.

Обратное утверждение не имеет места, для этого достаточно указать соответствую-щий пример – контрпример.

Контрпример.  

Множество  – ограниченное, но функция не является непрерывной на .

ПРИМЕРЫ на существенность условий теоремы

1. Если   не является непрерывной на , то множество значений ее может быть неограниченным (заключение теоремы не имеет места).

ПРИМЕР.  на   имеет точку разрыва второго рода ; множество  – неограниченное.

2. Если  непрерывна на множестве , но  – не является
сегментом, то множество значений функции на  может оказаться неограниченным.

ПРИМЕР. .

Доказательство теоремы проведем методом от противного.

Пусть   – неограниченное множество, т.е. .

Последовательность  – ограниченная и из нее можно
выделить сходящуюся подпоследовательность, т.е. .

Тогда в силу предположения для всякого   и
при   .

Но по условию теоремы  непрерывна в точке , , и  – конечное число.

Полученное противоречие доказывает теорему.

ТЕОРЕМА 2 ВЕЙЕРШТРАССА

Наибольшее и наименьшее значения функции, непрерывной на сегменте, достигаются в некоторых точках этого сегмента, т.е. .

ИЛЛЮСТРАТИВНЫЙ ПРИМЕР

Контрпример.

Здесь

,

 ,

но , т.е.   не является функцией, непрерывной на .

ПРИМЕРЫ на существенность условий теоремы рекомендуем построить самостоятельно.

Доказательство. По теореме 1 множество  – ограниченное, поэтому имеет грани. Пусть

.

Пусть , . Тогда выделяется последовательность значений аргументов  на , для которой  при любом .

Из ограниченной последовательности  выделяем сходящуюся подпоследовательность , т.е. .

Поскольку для каждого   и  
при , то по теореме о пределе промежуточной функции имеем .

Аналогично доказывается , .

Теорема устанавливает ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ существования абсолютного (глобального) экстремума на   для непрерывной функции , .

ЛЕММА (о нуле непрерывной функции)

Если 1) ; 2) , то .

Доказательство. Для определенности пусть  и .

Рассмотрим точку . Если

, то  и доказательство закончено, так как . Если , то число  имеет определенный знак, пусть . Выберем тот "половинный" сегмент, на концах которого функция имеет значения противоположного знака. В нашем случае (см. рисунок) это сегмент , для него имеем , .

Рассмотрим . Если , то .

Если ,  то выберем сегмент  так, чтобы

,  и длина  была равна половине длины предыдущего сегмента, т.е. .

Процесс продолжим либо до тех пор, пока  не обратится в ноль, либо при .

Получим последовательность сегментов , вложенных и стягивающихся по длине к нулю, для которых (у нас)  и . По принципу Кантора,  . Воспользуемся теоремой о переходе к пределу
в неравенстве и непрерывностью  на , т.е., в частности,
в точке . Получим .

Замечание. Лемма определяет ДОСТАТОЧНОЕ условие существования корня уравнения . Если установлено заранее, что на   корень единственный, то изложенная в доказательстве процедура построения последовательности сегментов , содержащих корень , составляет суть приближенного метода "половинного деления" решения нелинейного уравнения.

Обратное утверждение неверно.

Контрпример и примеры на существенность условий леммы
рекомендуем привести самостоятельно.