Детский электромобиль JAGUAR

Детский электромобиль JAGUAR

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат


Математика. Примеры решений контрольной, курсовой, типовых заданий Математика

Найти объем тела, ограниченного указанными поверхностями.

 Приведем решение двух задач на вычисление объемов тел, рассматривая тела с различной геометрией поверхности.

1) ,

2)   .

РЕШЕНИЕ.

 1). Тело  ограничено двумя поверхностями: параболоидом   и плоскостью . Изобразим это тело на чертеже (рис.75).

Рис.75

 Данное тело является -цилиндрическим брусом (рис.72); боковая поверхность выродилась в линию пересечения заданных поверхностей. Найдем область, в которую тело проектируется на плоскость , для чего из уравнений поверхностей, ограничивающих тело, следует исключить переменную  (т.е. совершить ортогональное проектирование):

  и .

Таким образом, областью  () является круг с центром в точке (0; 1) радиуса =1  (см. рис.75).

 Объем тела может быть вычислен с помощью тройного интеграла по формуле . В декартовой системе координат тройной интеграл записывается через повторный следующим образом:

,

откуда видно, что его вычисление сопряжено со значительными трудностями (на завершающей стадии вычисления повторного интеграла).

 Запишем интеграл в цилиндрической системе координат , с которой декартова система связана формулами

.

Якобиан  преобразования . Формула перехода (в интеграле) имеет вид

.

В нашем случае

.

Запишем уравнения параболоида и плоскости в цилиндрической системе координат:

.

Для окружности  имеем ; угол , очевидно, необходимо менять в пределах от 0 до . Таким образом ,

 

===.

Ответ. =.

 2) Изобразим тело , ограниченное поверхностями цилиндра , параболоида  и плоскостью  (рис.76).

Рис.76

  Замечание. При построении следует преобразовать уравнение направляющей цилиндра  , лежащей в плоскости  к каноническому виду (прибавляя и вычитая 2): , откуда получим , то есть направляющей цилиндра в плоскости  служит окружность с центром в точке  радиуса . Кроме того, при построении следует учесть, что поверхность параболоида пересекается с плоскостью  по окружности . Тело  является z-цилиндрическим брусом, проектирующимся на плоскость  в область (), являющуюся -трапецией.

Нетрудно убедиться, что и здесь, как и в предыдущем случае, повторный интеграл, записанный в декартовой системе координат, при вычислении требует значительных усилий; поэтому и в этом случае перейдем к цилиндрической системе координат (см. предыдущую задачу):

.

Найдем уравнения поверхностей, ограничивающих тело, в цилиндрической системе координат: уравнение цилиндра  перейдет в , уравнение параболоида  – в , плоскости  – в . Область (), являющаяся проекцией тела на плоскость , ограничена окружностью   и окружностью  (так как ). Найдем значения параметра , соответствующие точкам пересечения этих окружностей: , откуда  и для  получим два значения: . Учитывая симметрию тела  относительно плоскости , объем  запишем в виде следующего повторного интеграла:

.

Приведем вычисление объема:

=

=

=.

Ответ. .

 Формула Грина.

Теорема. Пусть C – граница замкнутой области  и функции P (x;y), Q (x;y),  и  непрерывны в области D. Тогда справедлива формула Грина: ,

где обход контура C осуществляется против часовой стрелки.

Доказательство: Считаем область D правильной в направлениях 0X и 0Y (рис.1).

  рис.1

Пусть кривая AMB – график функции  – дуга AMB,

 кривая ANB – график функции – дуга ANB,

 кривая MAN - график функции  – дуга MAN,

 кривая MBN - график функции – дуга MBN

Вычислим

Аналогично вычислим

Вычитаем (1) из (2), получим:

Используя свойства двойного и криволинейного интегралов, можно записать:

Теорема доказана.