Детский электромобиль JAGUAR

Детский электромобиль JAGUAR

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат


Математика. Примеры решений контрольной, курсовой, типовых заданий Математика

Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .

РЕШЕНИЕ. Имеет место неопределённость (0/0). Выполним замену переменной x + 2 = t с целью использовать стандартные формулы Маклорена. Предел при этом преобразуется к виду: .

Нам понадобятся формулы

= 1+ t + + + o(t3) ; ln(1+t) = t  + + o(t3).

Первая из этих формул нужна также с выполненной в ней подстановкой t вместо t, вторая – с подстановкой 2t вместо t:

= 1 t + + o(t3); ln(1+2t) = 2t + + + o(t3).

Формулы выписываем с остаточным членом o(t3); этого достаточно, так как в условии в знаменателе дроби стоит t3.

 =  =  = –2 =¥

áчислитель заменили его главной частьюñ.

Ответ. = ¥.

Найти асимптоты и построить эскизы графиков функций:

а) y=ln+2; б) y=; в) y=.

ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ. Вспомним определение асимптоты при x®¥: это прямая y=kx+b, для которой (f(x)  (kx + b)) = 0. Числа k и b можно найти по формулам k =; b =(f(x)  kx). Асимптота горизонтальна k=0 тогда и только тогда, когда существует конечный предел f(x), это и будет число b. Аналогично определяется асимптота при x®¥. Прямая x = a называется вертикальной асимптотой, если f(x) является бесконечно большой при x® a, то есть если f(x) =¥, и односторонней вертикальной асимптотой, если f(x) =¥ или f(x) =¥.

РЕШЕНИЯ.

а) y=ln+2. Область определения функции: x¥,1)(3,+¥). Функция является элементарной составлена из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических действий и подстановок одной функции в другую. Отсюда следует, что функция непрерывна в каждой точке области определения.

Исследуем поведение функции при x®10 и при x®3+0  то есть в полуокрестностях граничных точек области определения:

ln+ 2 =  ln t + 2 = ¥

новая переменная t= положительна и стремится к 0 при x®10.

  ln+ 2=ln t + 2 = +¥.

В обоих случаях при стремлении  x к конечному значению y является бесконечно большой, откуда следует, что прямые  x=1 и x=3  односторонние вертикальные асимптоты.

Исследуем поведение функции при x®±¥:

ln+ 2 = ln+ 2 = ln 1 + 2 = 2;

предел при x®¥ такой же. Следовательно, в обоих случаях прямая y=2 является горизонтальной асимптотой.

Ответ. Эскиз графика изображён на рис.36.

б) y=. Область определения функции: x¥,) (,)  (,+¥). Функция непрерывна в каждой точке области определения. При x®± по правилу вычисления предела дроби будем иметь: =¥, так как A 0. Отсюда следует, что прямые x= являются вертикальными асимптотами. Знак перед символом ¥ определяется знаком заданной дроби вблизи точек ±слева и справа. Метод интервалов применить не удаётся, так как корни числителя найти трудно. Поступим по - другому. Числитель в точке x= равен 3+1 > 0 и сохраняет знак в некоторой окрестности точки, так как является непрерывной функцией. Знаменатель отрицателен слева от точки x= и положителен справа. Итак,

y(x) = ¥, y(x) = +¥.

Числитель в точке x = равен 3+1 < 0 и сохраняет знак в некоторой окрестности точки. Знаменатель положителен слева от точки x= и отрицателен справа. Итак,

y(x) = +¥, y(x) = ¥.

Перейдём к изучению поведения функции при x®¥. Разница в показателях степеней многочленов в числителе и в знаменателе равна 1, что говорит о наличии асимптот при x® +¥ и при x®¥. В этой задаче найти асимптоты легче всего делением многочлена на многочлен, нахождением целой части. Выполнив деление, получим: = x + 1 +. Прямая y = x + 1 и будет асимптотой, что следует прямо из определения асимптоты:

(f(x)  (x + 1)) == 0, причём это справедливо как при x® +¥, так и при x®¥. Конечно, можно было найти асимптоту y=kx+b и с помощью вычислений:

k===1;

b=( x) ==1.

Ответ. Эскиз графика изображён на рис.37.

в) y=. Область определения функции: x , 2) (2, 2)  (2,+¥ ). Всюду в области определения функция непрерывна как элементарная заметим, что ½x½=,то есть  элементарная функция. Заметим, что функция чётная и рассмотрим её при x >0, здесь знак модуля можно убрать, так как при x >0 ½x½= x. Так, при x >0

y==  =  (x+2  ) =  x  2 + .

Найдена наклонная асимптота при x® +¥ : y =  x  2.

Прямая x = 2 является вертикальной асимптотой. График функции симметричен относительно оси y; y(0) =  7.

Ответ. Эскиз графика изображён на рис.38.

 Рис.36 Рис.37 Рис.38

Достаточность.

 Возьмем произвольный контур

 и на нем две точки A и B (произвольно). (рис. 2)

 Тогда по свойству криволинейного

 интеграла можно записать:

Поэтому

То есть результат интегрирования по двум произвольным кривым, имеющих одно и тоже начало (A) и один и тот же конец (B) одинаковый, следовательно  не зависит от пути интегрирования.

Достаточность доказана.