Математика. Примеры решений контрольной, курсовой, типовых заданий Математика

Элементарные преобразования над матрицами и элементарные матрицы

  Элементарные преобразования над матрицами бывают только трёх типов:

 1) перемена местами двух строк или столбцов; обозначения –   или  соответственно;

 2) умножение строки или столбца на число, отличное от нуля; обозначения –  или  соответственно, ;

 3) добавление к какой-либо строке или столбцу другой строки или столбца, умноженных на произвольное число ; обозначения –  или  соответственно (элементарное преобразование этого типа называется трансвекцией).

В результате применения к матрице  элементарного преобразования первого типа её строки   и  (или столбцы  и ) поменяются местами; во втором случае строка  (или столбец ) будет заменена на строку  (или столбец ); в последнем случае строка  (или столбец ) будет заменена на строку  (или столбец ), а строка  (столбец ) остается неизменной.

 Свойства элементарных преобразований.

 1) Одно элементарное преобразование первого типа эквивалентно четырем элементарным преобразованиям второго и третьего типов.

 ◄ Пусть в матрице  нужно поменять местами, например, строки  и . Следующая цепочка элементарных преобразований второго и третьего типов приводит к результату

.  ►

 2) Элементарные преобразования обратимы, а обратные им преобразования являются элементарными преобразованиями того же самого типа, т.е. если матрица  получена из матрицы  с помощью элементарного преобразования, тогда матрица  может быть получена из матрицы  с помощью элементарного преобразования того же самого типа.

 ◄ Используя для обозначения обратных элементарных преобразований символ ( )-1 непосредственной проверкой убеждаемся, что

,

,

  . ►

 3) Квадратная матрица называется элементарной, если она получена из единичной матрицы с помощью одного элементарного преобразования. Несмотря на то, что имеется шесть видов элементарных преобразований, три строчных и три столбцовых, видов элементарных матриц всего три, так как одна и та же элементарная матрица может быть получена как с помощью строчного так и с помощью столбцового элементарных преобразований.

 ◄ Действительно, элементарные преобразования  и  порождают одну и ту же элементарную матрицу

 (1.17)

Элементарные преобразования  и  порождают одну и ту же элементарную матрицу

  (1.18)

Наконец, элементарные преобразования  и  порождают одну и туже элементарную матрицу

  (1.19)

 4) элементарные матрицы обратимы, обратные им матрицы элементарны и порождаются элементарными преобразованиями, обратными исходным элементарным преобразованиям.

 ◄ Предлагаем читателю самостоятельно убедиться в том, что матрица вида (1.17) обратна самой себе, а матрицы

   

являются соответственно обратными матрицами матриц вида (1.18) и (1.19). ►

 5) Пусть . Проведение в матрице  одного строчного (столбцового) элементарного преобразования равносильно умножению этой матрицы слева (справа) на элементарную матрицу порядка  (порядка ), отвечающую этому элементарному преобразованию.

  ◄ Ввиду свойства 1) элементарных преобразований в проверке нуждаются лишь элементарные преобразования второго и третьего типов. Предлагаем читателю показать самостоятельно, что умножение матрицы   вида (1.1) на матрицы вида (1.18) и (1.19) слева равносильно проведению в матрице  элементарных преобразований соответственно  и , а умножение на матрицы указанного вида справа равносильно проведению в ней элементарных преобразований соответственно  и . ►

Поверхностный интеграл II рода называют потоком векторного поля  через поверхность  или . Название «поток» связано с гидромеханической задачей – вычисление количества жидкости или газа, протекающего за единицу времени в заданном направлении через поверхность S. Переход к другой стороне поверхности меняет направление нормали к поверхности, а потому и знак поверхностного интеграла II рода.

Вычисление поверхностного интеграла II рода сводится к вычислению поверхностного интеграла I рода:

где - направляющие косинусы вектора нормали ; - функция, задающая поверхность S. Или вычисление поверхностного интеграла II рода сводится к вычислению суммы трех двойных интегралов:

где ПрyzS, ПрxzS, ПрxyS - проекции поверхности S на OYZ, OXZ и OXY соответственно, функции x (y;z), y (x;z) и z (x;y) – выражения, полученные из уравнения , задающего поверхность S, с помощью разрешения x, y и z относительно соответствующих координат.