Математика. Примеры решений контрольной, курсовой, типовых заданий Математика.

Векторы

Найти площадь этого треугольника.

Решение: Есть несколько способов найти площадь треугольника, мы воспользуемся способом, связанным с векторами, а именно – геометрическим смыслом векторного произведения. Согласно ему, площадь треугольника АВС равна половине модулю векторного произведения векторов .

Векторное произведение векторов  равно

.

Модуль найденного векторного произведения равен

.

Следовательно, площадь треугольника АВС равна

Вопросы и задачи

п1. В треугольнике АВС сторона АВ разделена точками М и N на три равные части. Найти вектор , если .

п2. Дано: . Доказать, что ABCD – трапеция. (Указание: найти вектор  и доказать, что )

п3. Даны точки: А(0;2;3), В(-1;2;5), С(4;-2;-3).

 а) Найти координаты векторов .

 б) Найти координаты точки D, так, чтобы четырехугольник ABCD был параллелограммом

п4. Найти скалярное произведение векторов  и , если

п5. Даны 2 вектора: . Будучи отложены из одной точки, они образуют две стороны треугольника. Найти:

 а) длины сторон этого треугольника, б) углы этого треугольника

п6. Найти векторное произведение векторов  и , если

п7. Найти площадь треугольника из задачи п5.

п8. Пусть даны два вектора на плоскости: .

 а) запишите в координатном выражении условие коллинеарности (параллельности) этих векторов.

 б) запишите в координатном выражении условие перпендиклярности этих векторов.

 в) существует ли векторное произведение этих векторов? (если да – найдите, если нет – объясните)

г) вычислим объемы полученных «столбиков»:

д) в результате построено тело, состоящее из n «столбиков», объем которого равен:

приближенно равное объему цилиндроида.

е) для повышения точности равенства:  будем уменьшать размеры частей разбиения области D, увеличивая их количество, то есть n → ∞, но при условии стремления к нулю max ∆Si, стягивающегося в точку. Тогда можно записать точное равенство:

 

 

ж) этот предел и дает объем заданного цилиндроида.