Математика. Примеры решений контрольной, курсовой, типовых заданий Математика

Разложение матрицы в произведение простейших

 Пусть  – некоторые матрицы. Введём следующее обозначение, предполагая при этом, что произведение в правой части существует,

.

Предложение 1.5. Любую ненулевую матрицу из  можно представить в виде произведения

,  (1.22)

где , – элементарные матрицы порядка , – элементарные матрицы порядка , и матрица  имеет вид (1.21).

  ◄ В силу предложения 1.4 существует конечное число строчных и столбцовых элементарных преобразований, приводящих матрицу   к виду . Так как проведение одного строчного элементарного преобразования в матрице  равносильно умножению этой матрицы слева на некоторую элементарную  матрицу порядка , а проведение в  одного столбцового элементарного преобразования равносильно умножению матрицы  справа на некоторую элементарную матрицу  порядка , получаем матричное равенство

.  (1.23)

Матрицы  обратимы, а обратные им матрицы являются элементарными матрицами того же порядка. Поэтому, вводя обозначения

,

,

и умножая обе части равенства (1.23) в соответствующем порядке на матрицы   слева и на матрицы  справа, получаем

,

т.е. равенство (1.22). ►

Пример 8. разложить матрицу

в произведение простейших.

 ◄ Элементарными преобразованиями приводим матрицу  к виду ,

.

Проводим эквивалентную цепочку элементарных преобразований, умножая матрицу   слева на элементарную матрицу порядка 2, отвечающую элементарному преобразованию , и умножая её справа на элементарные матрицы порядка 3, отвечающие элементарным преобразованиям , , , . В результате получаем, что

.

Определяя обратные элементарные матрицы (см. свойство 4 элементарных преобразований) и умножая на них в соответствующем порядке последнее равенство, получаем, что

. ►

 Следствием предложения 1.5 является критерий обратимости квадратной матрицы.

Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции  по степеням . Указать главную и правильную части ряда.

а) =, ;

б) =, .

Задание 9. Функцию = разложить в ряд Лорана в окрестности точки .

Задание 10. Для функции  найти изолированные особые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.

а) =;

б) =.