|
Объём цилиндрического тела.
Двойной интеграл.
Пусть в некоторой замкнутой области D плоскости хО
у определена ограниченная функция z = f(x,у), причём f(x,y)>0. К определению двойного интеграла приходим, вычисляя объём фигуры, основание которой - область D; сверху фигура ограничена поверхностью, уравнение которой z=f(x,y) боковая поверхность - цилиндрическая, образованная прохождением прямой, параллельной оси Oz вдоль границы L области D. Такая фигура называется цилиндрическим телом (рисунок 1).
Рисунок 1. Цилиндрическое тело
Объём цилиндрического тела можно вычислить приближённо, заменив его ступенчатой фигурой следующим образом.
1. Область D произвольным образом разбивается на конечное число п элементарных областей (ячеек) D1, D2,..., Dn, площади которых обозначим соответственно ΔS, ΔS2 ,..., ΔSn. Диаметром ячейки называют наибольшее расстояние между двумя точками на её границе и обозначают diamDi.
Выберем в каждой ячейке Di произвольную точку
и вычислим в ней значение
. Составим сумму вида:
Каждое слагаемое в сумме вычисляет объём прямого цилиндра с основанием Di и высотой
.
Сумма (1) называется интегральной уммой для функции f(x,y) по области D. Предел интегральной суммы (1) при max diamDi→0 (n→∞) называется двойным интегралом от функции f(x,y) по области D:
В обозначении двойного интеграла D-область интегрирования f(x,y) - подынтегральная функция, dS-дифференциал площади, который можно заменить произведением дифференциалов независимых переменных dxdy.
Формула (2) позволяет вычислить объём цилиндри-ческого тела при f(x,y)>0, в чём и заключается геометрический смысл двойного интеграла.
В общем случае, если функция f(x, у) непрерывна в замкнутой области D, то двойной интеграл существует (существует предел интегральной суммы (2)) и не зависит от способа разбиения области D на частичные и от выбора точек
в них.
2. Основные свойства и приложения двойного интеграла
1. Линейные свойства двойного интеграла:
2. Если область D разделена на несколько частей D1, D2,...,Dk без общих внутренних точек, то
3. Если функция f(x, у) непрерывна в замкнутой области D, то в этой области найдётся такая точка (хо,уо), что
где SD - площадь области D (теорема о среднем).
4. Если m, М - наименьшее и наибольшее значения непрерывной функции f(x,y) в области D, то справед-ливо двойное неравенство (оценка двойного интеграла):
где SD - площадь области D (теорема о среднем).
С помощью двойных интегралов можно вычислить следующие величины. Площадь плоской фигуры D:
Если D - плоская пластинка с поверхностной плотностью μ(х,у), то по следующим формулам определяются:
а) масса пластинки
б) статические моменты пластинки относительно осей Ох и Оу:
в) координаты центра масс пластинки:
г) моменты инерции пластинки D относительно осей координат и начала координат:
ТЕОРЕМА (о достаточных условиях дифференцируемости ФНП в точке) (см. [1])
Если для ФНП
существуют частные производные по всем ее аргументам в некоторой окрестности
точки
и они непрерывны в точке
, то функция
дифференцируема
в точке.
Доказательство проведем для
![]()
,
.
Представим полное приращение функции
для
. Поскольку в
существуют
и
, то к выделенным разностям применима теорема
Лагранжа (по соответствующим переменным). Поэтому, где
,
;
,
.
В силу непрерывности частных производных в точке
имеем
, т.е.
, где
.
Аналогично
, где
.
Подставляя полученные выражения для частных производных, получим
, здесь
и
– постоянные,
а
, по определению функция
дифференцируема в точке
.
Доказательство может быть обобщено на случай функции
большего числа переменных.
|