Математика. Примеры решений контрольной, курсовой, типовых заданий Математика

Объём цилиндрического тела.

Двойной интеграл.

Пусть в некоторой замкнутой области D плоскости хОу определена ограниченная функция z = f(x,у), причём f(x,y)>0. К определению двойного интеграла приходим, вычисляя объём фигуры, основание которой - область D; сверху фигура ограничена поверхностью, уравнение которой z=f(x,y) боковая поверхность - цилиндрическая, образованная прохождением прямой, параллельной оси Oz вдоль границы L области D. Такая фигура называется цилиндрическим телом (рисунок 1).

 

Рисунок 1. Цилиндрическое тело

Объём цилиндрического тела можно вычислить приближённо, заменив его ступенчатой фигурой следующим образом.

1. Область D произвольным образом разбивается на конечное число п элементарных областей (ячеек) D1, D2,..., Dn, площади которых обозначим соответственно ΔS, ΔS2 ,..., ΔSn. Диаметром ячейки называют наибольшее расстояние между двумя точками на её границе и обозначают diamDi.

Выберем в каждой ячейке Di произвольную точку и вычислим в ней значение. Составим сумму вида:

Каждое  слагаемое в сумме вычисляет объём прямого цилиндра с основанием Di и высотой .

Сумма (1) называется интегральной уммой для функции f(x,y) по области D. Предел интегральной суммы (1) при max diamDi→0 (n→∞) называется двойным интегралом от функции f(x,y) по области D:

В обозначении двойного интеграла D-область интегрирования f(x,y) - подынтегральная функция, dS-дифференциал площади, который можно заменить произведением дифференциалов независимых переменных dxdy.

Формула (2) позволяет вычислить объём цилиндри-ческого тела при f(x,y)>0, в чём и заключается геометрический смысл двойного интеграла.

В общем случае, если функция f(x, у) непрерывна в замкнутой области D, то двойной интеграл существует (существует предел интегральной суммы (2)) и не зависит от способа разбиения области D на частичные и от выбора точек   в них.

2. Основные свойства и приложения двойного интеграла

1. Линейные свойства двойного интеграла:

2. Если область D разделена на несколько частей D1, D2,...,Dk без общих внутренних точек, то

3. Если функция f(x, у) непрерывна в замкнутой области D, то в этой области найдётся такая точка (хо,уо), что

где SD - площадь области D (теорема о среднем).

4. Если m, М - наименьшее  и наибольшее значения непрерывной функции f(x,y) в области D, то справед-ливо двойное неравенство (оценка двойного интеграла):

где SD - площадь области D (теорема о среднем).

С помощью двойных интегралов можно вычислить следующие величины. Площадь плоской фигуры D:

  Если D - плоская пластинка с поверхностной плотностью μ(х,у), то по следующим формулам определяются:

а) масса пластинки

б) статические моменты пластинки относительно осей Ох и Оу:


в) координаты центра масс пластинки:

г) моменты инерции пластинки D относительно осей координат и начала координат:

ТЕОРЕМА (о достаточных условиях дифференцируемости ФНП в точке) (см. [1])

Если для ФНП  существуют частные производные по всем ее аргументам в некоторой окрестности  точки  и они непрерывны в точке , то функция  дифференцируема
в точке .

Доказательство проведем для  , .

Представим полное приращение функции

для  . Поскольку в   существуют  и

, то к выделенным разностям применима теорема
Лагранжа (по соответствующим переменным). Поэтому , где , ; , .

В силу непрерывности частных производных в точке  имеем , т.е.

, где .

Аналогично , где .

Подставляя полученные выражения для частных производных, получим , здесь  и  – постоянные,

а , по определению функция  дифференцируема в точке .

Доказательство может быть обобщено на случай функции
большего числа переменных.