Детский электромобиль JAGUAR

Детский электромобиль JAGUAR

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат


Математика. Примеры решений контрольной, курсовой, типовых заданий Математика

Формула Грина. Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от вида пути интегрирования

Пусть D - некоторая замкнутая область на плоскости хОу, ограниченная контуром L. На ней заданы функции Р = Р(х,у) и Q = Q(x,y), непрерывные на D вместе со своими частными производными первого порядка. Формула Грина связывает криволинейный интеграл второго рода по L с двойным интегралом по области D:

Движение по контуру L - в положительном направлении.

С помощью формулы Грина значение криволинейного интеграла по замкнутому контуру можно найти, вычислив двойной интеграл.

 Пример 2 

 Вычислить интеграл

где L - пробегаемая в положительном направлении окружность радиуса 2 с центром в начале координат.

РЕШЕНИЕ

В данном интеграле

Следовательно

По формуле (38) получим

где D - круг радиуса 2 с центром в начале координат. Двойной интеграл вычислим в полярных координатах

Без применения формулы Грина данный интеграл вычислить невозможно, так как невыполнимо интегрирование функций

С помощью формулы Грина доказывается, что криволинейный интеграл

не зависит от пути интегрирования MN, а зависит лишь от положения точек М и N, если во всех точках односвязной области D соблюдается равенство

При этом условии интеграл по любому замкнутому контуру LD равен нулю.

Область О называется односвязной, если ее граница состоит из одного не самопересекающегося контура L и внутри контура L нет точек, не принадлежащих области D.

Если выполняется равенство (39), выражение

является полным дифференциалом некоторой функции U=U(x,y)

Функцию U=U(x,y) называют потенциальной (первообразной) функцией для выражения

Р(х, y)dx + Q(x,y)dy

 Она может быть найдена по формуле

Где (x0,y0) - любая фиксированная точка области D; (х,у) - переменная точка; С -произвольная постоянная.

При выполнении условия (39) криволинейный интеграл равен разности значений потенциальной функции в конечной и начальной точках пути интегрирования:

СЛЕДСТВИЕ. Для дифференцируемой в точке  ФНП полное
приращение функции можно представить в виде

или

.

Здесь выражение  называется полным
дифференциалом первого порядка ФНП  в точке  
соответственно .

Так, в рассмотренном ранее примере 1 для  имеем , здесь ; ; .

В общем виде полный дифференциал первого порядка функции  в точке  можно записать

.