Электротехника Законы Ома и Кирхгофа Постоянный электрический ток Молекулярная физика Колебания Термодинамика

Определить среднюю величину кинетической энергии поступательного движения молекул идеального газа <e>, используя заданную функцию распределения молекул по энергиям

 . (1)

 Решение

 1. Структура уравнения распределения молекул по энергиям такова, что, будучи проинтегрированным, в соответствующих пределах, даёт величину средней энергии молекул

 . (2)

 2. Интеграл уравнения (2) является табличным

  , (3)

в данном случае , поэтому уравнение (2) можно переписать следующим образом

  . (4)

1.4. Распределение Больцмана

 1.4.1. Пылинки, взвешенные в воздухе, имеют массу m = 10 ­21кг. Во сколько раз уменьшится их концентрация при увеличении высоты на Dh = 10 м? Температура воздуха остаётся постоянной Т = 300 К.

 Решение:

 1. Запишем уравнение распределения частиц в силовом поле, в данном случае, в поле силы тяжести

 , (1)

где n ­ концентрация частиц в искомой точке пространства, n0 ­ концентрация частиц на уровне, принятом за нулевой, U ­ потенциальная энергия частиц, kB ­ постоянная Людвига Больцмана, Т ­ абсолютная температура.

 2. Как известно, в поле силы тяжести, частицы, имеющие массу, обладают потенциальной энергией U = mgz, где z ­ расстояние от поверхности земли до данной частицы. Таким образом, поверхность планеты выбирается как эквипотенциаль нулевого уровня. Уравнение (1) в этой связи можно переписать следующим образом

 . (2)

 3. Чтобы определить во сколько раз изменится концентрация пылинок при изменении высоты на Dh = 10м, необходимо найти отношение их концентраций. Примем начальную высоту за h, тогда уравнение (2) для заданных условий можно переписать следующим образом

  , (3)

 4. Поделим уравнения (3) друг на друга

  . (4)

 1.4.2. Одинаковые частицы массой m = 10­15 кг каждая распределены в однородном гравитационном поле напряжённостью G = 2×10 ­7 H/кг. Определить отношение концентраций частиц n1/n2, отстоявших на эквипотенциальных уровнях, отстоящих друг от друга  на расстоянии Dz = 10 м. Температуру считать постоянной и равной Т = 290 К.

 Решение

 1. Напряжённость гравитационного поля G [Н/кг] по размерности эквивалента размерности ускорения свободного падения g [м/с2], поэтому для определения отношения концентраций можно воспользоваться уравнением (4) предыдущей задачи

 . (1)

 1.4.3. В некой неубранной комнате при постоянной температуре Т = 300 К витают в воздухе взвешенные частички массой m = 1×10 ­21 кг. Отношение концентрации пылинок на высоте h = 1 м и у пола составляет h/h0 = 0,8. Возможно ли по этим данным определить значение постоянной Авогадро?

 Решение

 1. Запишем уравнение распределения частиц в постоянном силовом поле Больцмана

 , (1)

 2. Постоянная Больцмана может быть выражена через универсальную газовую постоянную и число Авогадро ­ kB = R/NA, уравнение (1) перепишется следующим образом

 . (2)

 3. Отношение концентраций примет следующий вид

 , (3)

откуда

 .  (4)

 1.4.4. Отношение концентрации взвешенных частиц в слоях, отстоящих на расстоянии Dh = 1 м друг от друга, равно е. Частицы находятся в однородном поле силы тяжести при постоянной температуре Т = 300 К. Найти силу F, действующую на частицу.

 Решение

 1. Воспользуемся уравнением (1) задачи 1.4.2 и выразим из него действующую на частицу силу

  , (1)

 . (2)


Физика примеры решения задач