Электротехника Законы Ома и Кирхгофа Постоянный электрический ток Молекулярная физика Колебания Термодинамика

Телу массой m = 0,5 кг, соединённому с двумя одинаковыми пружинами жёсткость k1 = k2 = 800 Н/м сообщили начальную скорость v(0) = 3 м/с. Какова при этом будет амплитуда колебаний тела, если оно находится на гладкой плоскости?

  Решение

 1.При возникновении гармонических колебаний одна из пружин будет удлиняться на величину d, а вторая - укорачиваться на такую же величину. В соответствие с уравнением (2) задачи 1.2.18 суммарная жёсткость пружин определится как

 . (1)

 2. Деформация пружин будет происходить до тех пор пока сообщённая первоначально массе кинетическая энергия не трансформируется в потенциальную энергию пружин

  (2)

  1.2.26. Диск массой М =0,1 кг подвешен к пружине жёсткостью k = 1 кН/м. С высоты h = 0,1 м на диск падает кольцо массой m = 0,1 кг, после чего возникают гармонические колебания. Полагая удар кольца о диск абсолютно неупругим, определить амплитуду колебаний.

 Решение

 1. Кольцо, падая с высоты h, в момент соприкосновения с диском кольцо имеет скорость

 . (1)

 2. Скорость движения диска с кольцом определится из закона сохранения импульса

 , (2)

 . (3)

 3. До падения кольца, под действием силы тяжести Mg пружина деформируется на величину d1, причём

  (4)

 4. Масса кольца вызовет дополнительное статическое удлинение пружины d2

  . (5)

 5. При колебаниях без потерь справедлив закон сохранения энергии

 , (6)

первое слагаемое описывает кинетическую энергию системы диск-кольцо в начальный момент времени в положении d1, второе слагаемое относится к потенциальной энергии пружины, растянутой на d1. Сумма кинетической и потенциальной энергии в случае невесомости пружины и отсутствия потерь равна потенциальной энергии пружины в момент растяжения пружины на максимальную величину А.

  6. Разрешим уравнение (6) относительно искомой амплитуды с учётом того, что d1 = Mg/k, d2 = (M+m)g/k

  … (7)

  1.2.27. Шарик движется между двумя пересекающимися плоскостями, имеющими не одинаковый угол наклона к горизонту. Определить период колебаний шарика, считая удар о плоскости абсолютно упругим, а качение происходящим без потерь.

 Решение

  1. При ускоренном движении шарика с высоты h из точки А в точку В он, в соответствие с законом сохранения энергии, приобретёт скорость

 . (1)

 2. Последующий подъём из точки В в точку С по смежной наклонной плоскости будет равнозамедленным

  . (2)

 3. Движение по наклонной плоскости происходит до тех пор, пока кинетическая энергия шарика, приобретенная в результате столкновения с поверхностью, не трансформируется полностью в потенциальную энергию, что характеризуется нулевым значением скорости

 . (3)

 4. Спуск шарика из точки С в точку В будет происходить за время t2, причём t2 = t1, другими словами шарик будет находиться на наклонной плоскости с углом наклона b в течение времени

 . (4)

 5. Для плоскости с углом наклона a можно записать уравнение, аналогичное (4)

  . (5)

 6. Период колебаний шарика определится в виде следующей суммы

 . (6)

  1.2.28. В одном из фантастических романов предлагалось пробурить сквозной тоннель по одному из диаметров Луны, поместить туда тело, которое станет совершать гармонические колебания относительно центра масс луны. Определить, с каким периодом в случае реализации проекта стали бы происходить колебания?

 Решение

  1. Разобьем объём Луны на большое число шаровых слоёв и рассмотрим влияние данного слоя на точку, обладающую массой m и находящуюся в плоскости шарового слоя. Конусы с малыми углами раскрытия будут обладать массами пропорциональными величинам площадей оснований Ds1 и Ds2, причём

 . (1)

 2. В соответствие с законом гравитации Ньютона силы, действующие на исследуемую массу со стороны образованных конусов, можно записать следующим образом

  (2)

 3. Выразим из уравнения Ds1 и подставим в первое уравнение системы (2)

  , (3)

откуда следует, что , т.е. сила со стороны рассматриваемого шарового слоя равна нулю.

 4. Из приведенных выше результатов следует, что на массу, находящуюся на глубине h от поверхности Луны будет действовать сила гравитации

  . (4)

где M* - масса сферической части Луны, радиусом r = (RS - h)

 , (5)

здесь и далее в этой задаче: rS - плотность Луны, RS- радиус Луны.

 5. Перепишем уравнение (4) с учётом значения M*

 , (6)

где r - расстояние от массы до центра Луны, .

 6. Силу F можно считать восстанавливающей силой, которая в центре Луны будет иметь нулевое значение. Период колебаний запишется в этом случае следующим образом

 . (7)


Физика примеры решения задач