Примеры расчетов по электротехнике. Выполнение курсовой, контрольной работы Примеры расчетов по электротехнике. Выполнение курсовой, контрольной работы

Импульсная характеристика согласованного фильтра. Физическая осуществимость.

Тот факт, что коэффициент передачи согласованного фильтра К(j) является функцией комплексно сопряженной по отношению к спектру сигнала S(j), указывает на существование связи и между временными характеристиками сигнала и фильтра. Для выявления этой связи найдем импульсную характеристику согласованного фильтра. Последняя связана с комплексной передаточной функцией парой преобразований Фурье. На этом основании имеем

  (23)

Учитывая, что S*(j)= S(-j), то переходя к новой переменной , получим

   (24)

Правая часть этого выражения есть функция AS(t-t0). Следовательно, если задан сигнал S(t), то импульсная характеристика согласованного фильтра

  (25)

Рассмотрим графическую интерпретацию формулы (25) (см. рис.).

Кривая S(-t) является зеркальным отражением заданного сигнала S(t) с осью ординат в качестве оси симметрии. Функция S(t0-t), представляющая собой функцию S(-t) сдвинутую вправо на t0=t, тоже зеркальна относительно S(t), но с осью симметрии t=t0/2. (рис. 1). На рис. 2 показано аналогичное построение, когда отсчет времени ведется от начала сигнала.

Импульсная характеристика физической цепи не может начинаться при t<0, поскольку отклик не может появиться ранее воздействия. Поэтому задержка t0 не может быть меньше ТС. Следовательно, только при  может быть использована вся энергия сигнала для создания максимального пика в точке t=t0. Отсюда очевидно, что увеличение t0 сверх ТС не влияет на величину пика выходного сигнала, а просто сдвигает его вправо (в сторону запаздывания).

С другой стороны, условие  накладывает на сигнал S(t) требование, чтобы длительность его TC была конечна. Только в этом случае, при конечной величине задержки t0 можно реализовать пик сигнала. Иными словами, применение согласованной фильтрации для максимизации отношения сигнал-помеха в рассматриваемом здесь смысле возможного только при импульсном сигнале, а также ограниченной по продолжительности пачке импульсов.

Рассмотрим подобный вопрос о физической осуществимости согласованного фильтра. Пусть задачи произвольный сигнал S(t), которому соответствует импульсная характеристика согласованного фильтра g(t) и Фурье-преобразование от этой функции K(j), определяемые, соответственно, формулами (25) и (19). Вопрос ставится так: при каких условиях K(j) может являться передаточной функцией физически осуществимого четырехполюсника?

Ответ на этот вопрос дает критерий осуществимости Пэли-Винера, согласно которому неравенство

  (26)

является необходимым условием, чтобы исполнительная функция К( могла быть модулем передаточной функции пассивной электрической цепи. Т.к. К( =AS(то (26) можно записать в виде

  (27)

Отсюда следует, что необходимым условием физической осуществимости согласованного фильтра является сходимость материала (27). Это условие эквивалентно требованию, чтобы длительность сигнала была ограничена.

7.2.3. Сигнал и помеха на выходе согласованного фильтра

Для определения формы сигнала на выходе используем общее выражение

 

Подставив в него (19) получим

  (28)

(t=t0 момент времени, когда сложение всех компонентов спектра выходного сигнала, по фазе, дает max выходной сигнал).

При t=t0 правая часть этого выражения переходят в энергию входного сигнала:

   (29)

где Э - энергия входного сигнал.

С другой стороны, из первой части (28), в которой фигурирует произведение , вытекает, что SВЫХ(t) можно представить как свертку следующих двух функций времени: S(t) и S(t0-t). Таким образом, получаем

 

Пологая , получаем

  (30)

где x и y имеют смысл времени на интервале, где S(t) и S(t0-t) существуют одновременно.

Интеграл в правой части (30) является автокорреляционной функцией входного сигнала - BS(t-t0).

Таким образом, приходим к важному выводу, что

  (31)

т.е., что сигнал на выходе согласованного фильтра с точностью до постоянного коэффициента А совпадает с автокорреляционной функцией входного сигнала.

Для составления функции SВЫХ(t) на заданной функции BS( достаточно в последней  заменить на (t-t0) и учесть коэффициент А. При t=t0, т.е. при =0, величина BS(0) равна энергии сигнала. Следовательно, как и при спектральном рассмотрении, пиковое значение сигнала (сравнить с (29))

Рассмотрим теперь параметры и статические характеристики шума на выходе согласованного фильтра. При действии белого шума закон распределения его плотности вероятности на выходе линейного фильтра остается таким же, как и на входе. Энергетический спектр шума на выходе фильтра равен

Следовательно, корреляционная функция шума на выходе согласовано фильтра

 

Подставляя K(AS() и учитывая (28) и (31), в которых примем t-t0=, получаем

  (32)

Отсюда следует, что корреляционная функция шума на выходе согласованного фильтра по форме совпадает с корреляционной функцией входного сигнала (и, следовательно, с выходным сигналом).

Приравнивая =0, находим дисперсию (среднюю мощность) шума на выходе

  (33)

Составим отношение пикового значения сигнала SВЫХ(t0) к среднеквадратическому значению шума - . В соответствии с формулами (29) и (33)

  (34)

Итак, при белом шуме отношение сигнал-шум на выходе фильтра, согласованного с сигналом, зависит только от энергии сигнала и энергетического спектра шума W0. Из этого заключения следует, что при заданных энергии и ширине спектра сигналу можно придавать различную форму, выгодную для решения конкретной задачи. при этом амплитуда А0 и длительность сигнала ТС связаны очевидным соотношением

 А02ТС=const

При измерении длительности сигнала следует обеспечить неизменной ширину его спектра. Это можно осуществить, введя внутриимпульсную модуляцию (частотную или амплитудную).