Примеры расчетов по электротехнике. Выполнение курсовой, контрольной работы Примеры расчетов по электротехнике. Выполнение курсовой, контрольной работы

Пример расчета переходного процесса с помощью интеграла Дюамеля

На примере схемы рис. покажем последовательность расчета переходных процессов по заданному закону изменения напряжения ( рис.)

Последовательность расчета включает четыре основных этапа:

Любым из известных методов определяют переходную проводимость g(t).

Производят замену аргументов и получают g(t - τ).

По заданной функции входного напряжения определяют ее производную по t, а затем производят замену t на τ, т.е. получают u'(τ).

Параметры, найденные в пунктах 1 – 3, подставляют в формулу интеграла Дюамеля и определяют исходную функцию i(t) в переходном процессе.

 

а) b)

Рис.1.15 (a, b). Схема и график входного напряжения для расчета

переходного процесса с помощью интеграла Дюамеля

Исходные данные:

R1 = 5 Ом, R2 = 10 Ом, L = 10 мГн

Определить i1(t).

Полагаем, что на входе схемы включен источник постоянного напряжения, численно равный 1В и iL(-0)=0.

Рассчитаем i1(t) при этом условии:

i1 =i1пр+ i1св ;  где i1пр= и i1св=Ae pt.

Рассчитаем переходную характеристику h(t).

Любым из известных методов определяем переходную проводимость. Расчет проведем классическим методом. Для цепи после коммутации составим систему дифференциальных уравнений, используя метод контурных токов:

 ;

где i11 = i1;

;

.

Заменим jω на p:

;

R1R2 + R1pL + R2pL =0;

.

При t = 0 получим:

i1(0) = i2(0) + iL(0);

;

;

.

При E = 1В получим:

;

;

u(t) = 200 - 10000t = -104 t+ 200;

 u'(t) = -104;

 u'(τ) = -104.

Итоговое решение получим в виде суммы составляющих решений на двух интервалах:

1. 0 ≤ t < t1;

2. t ≥ t1;

Производим проверку решения качественную и количественную.

Качественная: в решении должны присутствовать слагаемые, повторяющие форму подводимого напряжения, и свободная составляющая:

Количественная:

1) при t = 0;

i1(0) = 80 - 66.6 =13.4, i1(0) = 200/15 = 13.3.

2) при t ≥ t1;

.

 1.16. Частотный метод расчета переходных процессов

Данный метод базируется на известном преобразовании Фурье.

 1.16.1. Интеграл Фурье.

В случае, когда имеем периодическую несинусоидальную функцию, её можно разложить в периодический ряд Фурье:

  (1.16.1.1)

Этот ряд является дискретным, кроме того, коэффициенты Bkm, Ckm, A0 являются функциями времени. Введем дополнительную переменную τ и тогда коэффициенты ряда Фурье имеют вид:

Где τ действует в интервале [-T/2;T/2], T – основной период несинусоидальной периодической функции. Подставив коэффициенты в ряд Фурье, получим:

.

По тригонометрическим формулам преобразуем выражение в скобках и получим следующее выражение:

 ; (1.16.1.2)

Поскольку ряд дискретный, то между двумя соседними частотами всегда имеется интервал ∆ω =ω= ωk+1 – ωk, ω =2π/T;

где k – номер гармоники:

При неограниченном увеличении периода, т.е. при T →  , коэффициент A0 → 0, в итоге перейдем от периодической функции к непериодической. При этом исходное уравнение упростится и примет следующий вид

 . (1.16.1.3)

При неограниченном росте периода частотный интервал ∆ω стремится к dω и поэтому окончательное выражение примет вид

 . (1.16.1.4)

При этом ω становится не фиксированной, а текущей. Полученная формула представляет собой интеграл Фурье в тригонометрической форме.

Таким образом, от дискретного спектра частот соответствующей периодической несинусоидальной функции перешли к непрерывному спектру частот непериодической функции. Поскольку внутренний интеграл сходящийся, то есть это некоторое конечное число, то, умножая его на dω, получаем бесконечно малую величину – амплитуду на данной текущей частоте.