Примеры расчетов по электротехнике. Выполнение курсовой, контрольной работы Примеры расчетов по электротехнике. Выполнение курсовой, контрольной работы

Преобразование Фурье

Для получения искомого преобразования перепишем полученное выражение интеграла Фурье в следующем виде:

 . (1.16.2.1)

Формула (1.16.5) получена введением отрицательных частот. Они не имеют физического смысла, однако позволяют сделать запись в более симметричной форме. Прибавим к данной функции мнимый ноль, который будет задан выражением

.

 

Воспользуемся формулой Эйлера для записи функции в показательном виде:

 . (1.16.2.2)

Отдельно выделим внутренний интеграл и произведем в нем замену τ на t, что всегда возможно для определенных интегралов:

   (1.16.2.3)

Полученный интеграл представляет собой спектральную плотность функции f(t) и носит название прямого преобразования Фурье. 

Так как функция комплексная S(jω) = S(ω)ejψ(ω) , то

S(ω) – амплитудно-частотная характеристика (АЧХ);

Ψ(ω) – фазо- частотная характеристика (ФЧХ).

Эти характеристики показывают закон  распределения амплитуд и фаз по текущим частотам.

Если функция f(t) задана в интервале времени от 0 до t, то

.

Полученную комплексную функцию S(jω) подставим в исходный интеграл Фурье:

 , (1.16.2.4)

который называется обратным преобразованием Фурье.

Сравнение прямого преобразования Фурье и интеграла Лапласа показывает их совпадение при определенном условии.

Интеграл Лапласа:

Интеграл Фурье: 

S(jω) = F(p), (p = jω).

Использовать преобразование Фурье можно в расчетах переходных процессов. Полученное равенство показывает, что преобразование Лапласа является более мощным, чем преобразование Фурье, p – может быть любым (вещественным, комплексным, мнимым), в то время как jω – чисто мнимое число.

Из сказанного следует, что когда для функции найдено лапласово преобразование, то для получения частотного спектра достаточно р заменить на jω в этом выражении, и выделить его АЧХ и ФЧХ.

Законы Ома и Кирхгофа для частотных спектров

Они полностью повторяют по форме записи соответствующих законов, которые были получены при рассмотрении операторного метода с той разницей, что оператор р заменяется на jω, поэтому ограничимся лишь финальным выражением:

 . (1.16.3)

Выражение в знаменателе представляет собой сопротивление цепи как функцию частоты, но ω при этом не является фиксированным числом.

Законы Кирхгофа:

,

1.16.4. Пример расчета спектральной плотности сигнала

Пусть на вход некоторого двухполюсника подается единичный импульс напряжения длиной t1:

Рис.1.16.4.1. Единичный импульс напряжения

Определим частотный спектр этого импульса. Так как площадь импульса конечна, то преобразование может быть получено в следующем виде

,

 

Из полученного выражения для спектральной плотности выделим и построим АЧХ и ФЧХ:

.

На рис 1.16.4.2 представлена АЧХ заданной функции.

Рис.1.16.4.2. Амплитудно-частотная характеристика

единичного импульса напряжения

Аналогичного рода рассуждения позволяют построить ФЧХ функции, представленную на рис 1.16.4.3.

Рис.1.16.4.3. Фазо-частотная характеристика

единичного импульса напряжения