Примеры расчетов по электротехнике. Выполнение курсовой, контрольной работы Примеры расчетов по электротехнике. Выполнение курсовой, контрольной работы

Элементы обобщенной спектральной теории сигналов.

а) Основные определения и понятия.

Обобщенной спектральной теорией называют совокупность методов представления сигналов в виде суммы ортогональных составляющих

  (1)

Наибольшее распространение получили методы, использующие представления сигналов в виде колебаний ( т.е. функций времени ) и спектрального разложения на синусоидальные и косинусоидальные составляющие ( это преобразования Фурье ). Обобщенная спектральная теория исследует общие закономерности спектрального анализа для систем базисных функций и рассматривает особенности выбора базисных систем при решении задач передачи и обработки сигналов. Представление (1) называют разложением сигнала по системе базисных функций. К системе базисных функций предъявляют следующие требования : для любого сигнала ряд (1) должен сходиться; функции к(t) должны иметь простую аналитическую форму; коэффициенты ак должны вычисляться относительно просто. Этим трем условиям удовлетворяют системы ортогональных функций. Условие ортогональности функций

  (2)

При i=k

  (3)

Число ck называют нормой базисной функции . Нормированная базисная функция

  (4)

Система нормированных базисных функций , удовлетворяющая одновременно и условию ортогональности, и условию нормировки

  (5)

где ,

называется ортонормированной.

Если под yi или yk понимать ток или напряжение, то равенство (3) имеет смысл энергии сигнала, выделенной сигналом yk на сопротивлении 1 Ом за время (t2-t1), а равенство (2) имеет смысл энергии взаимодействия сигналов yi и yk. Отсюда следует физический смысл понятий ортогональности и нормы функций : ортогональные сигналы не взаимодействуют между собой, а энергия нормированного сигнала равна 1.

б) Определение коэффициентов.

Рассмотрим, как определяют коэффициенты ак при разложении сигнала по системе ортонормированных функций. Представим сигнал

  (6)

Умножив обе части (6) на ji(t) и проинтегрировав на интервале [t1,t2] получим

  (*)

Из условия ортонормированности функций (5) следует, что в правой части соотношения (*) все интегралы при i¹k будут равны нулю, а при i=k один из них равен единице. Поскольку знак суммы в правой части (*) при этом исчезает, то

  (7)

Ортогональные разложения (6) называют обобщенным рядом Фурье, а коэффициенты (7) - обобщенным коэффициентом Фурье.

Ортонормированные функции удовлетворяют трем условиям: они должны иметь простую аналитическую форму; для любого сигнала ряд должен сходиться ; коэффициенты ak должны вычисляться относительно просто.

Выбор базисных ортонормированных функций - одна из ответственных задач и ее решение существенно зависит от характера преобразований сигналов в системе. Коэффициенты ak представляют собой эффективные значения составляющих спектра ( обобщенных гармоник), поэтому выделяемая на сопротивлении 1 Ом средняя мощность сигнала равна :

  (8)

Соотношение (8) называют равенством Парсеваля. Из него следует, что мощность сигнала равна сумме мощностей всех составляющих спектра.