Примеры расчетов по электротехнике. Выполнение курсовой, контрольной работы Примеры расчетов по электротехнике. Выполнение курсовой, контрольной работы

Большое значение имеет ортогональность постоянной S0 и переменной S1,n составляющих любого сигнала S(t)=S0+ S1,n(t) , где постоянная составляющая определяется как среднее значение сигнала на интервале [0,T]-S0= а переменная составляющая S1,n(t)=S(t)-S0.

Взаимная энергия постоянной и переменной составляющих

.

Следовательно, составляющие S0 и S1,n , ортогональны. Из их ортогональности следует, что среднее значение переменной составляющей

и что их прохождение через различные цепи может рассматриваться отдельно, а результат определяться простым суммированием.

1.3.2. Примеры базисных функций и полиномов.

а) Гармонические функции.

Из математики известны периодические функции sin и cos , описывающие гармонические колебания. Положем, что эти функции являются ортогональными и, одновременно, определим норму этих функций. Для этого воспользуемся соотношениями (2) и (3) :

,  (15)

где T=2p/w0 -период гармонического колебания, а k=0,1,2..., i=0,1,2... - целые числа. Равенства, аналогичные (15) имеют место как для функции sin, так и для cos, поскольку sinwt=cos(wt -p/2) ,а также для случая, когда, например, , а . Из (15) следует, что обе гармонические функции являются ортогональными с нормой ck=T/2 , определяемой периодом их повторения. Следовательно, система ортонормированных гармонических функций согласно (4) будет иметь вид :

  (16)

На основании соотношений (6) и (7) любой периодический сигнал S(t) = S(t+T) может быть представлен рядом из функций (16)

  (17)

где  k=0,1,2,3... (18)

Ряд (17) называют тригонометрическим рядом Фурье с коэффициентами (18). Его можно представить и в других формах.

Если объединить функции sin и cos одной частоты в выражении (17), то это дает следующее его представление:

 (19)

где    (20)

В частном случае четной периодической функции, когда S(t)=S(-t) из (18) следует, что bk=0, следовательно, и , и сигнал S(t) раскладывается только по косинусам. В случае же нечетной функции, когда S(-t)=-S(t) , имеем ak=0,  и ряд состоит только из синусоидальных гармоник.

Из сказанного следует, что периодические колебания полностью определяются коэффициентами всех гармоник. Т.е. амплитуды и фазы гармоник, зависящие от значений частоты, кратных основной частоте (частоте повторения сигнала S(t) ), дают эквивалентное представление периодических функций времени в частотной области.

б) экспоненциальные функции.

В ряде случаев, например, в теории цепей, удобнее иметь дело с комплексной или экспоненциальной формой ряда Фурье (т.е. ряда вида (6), выраженного через экспоненциальные функции комплексного переменного, определенные на интервале Т, являющемся периодом повторения сигнала S(t). Чтобы не повторяться в доказательстве условий ортонормированности для периодических экспоненциальных функций комплексного измененного, искомое разложение получим исходя из тригонометрического ряда Фурье. Для этого в выражении (17) представим функции sin и cos через экспоненты от мнимого аргумента по формуле Эйлера :

После группировки слагаемых и преобразований получим :

  (21)

Здесь

 (22)

- комплексная амплитуда k-й гармоники, а

  (23)

- ее комплексно-сопряженная величина.

Если обозначить сопряженную амплитуду через комплексную амплитуду с отрицательным индексом

 

то обе суммы в (21) можно заменить суммированием по одной экспоненте при изменении индекса k от  до + (включая ноль).

В результате получим ряд Фурье в комплексной форме :

  (24)

Для комплексных коэффициентов экспоненциального ряда Фурье после подстановки (22) и (23) в (18) находим

  (25)

 где .

Комплексные коэффициенты ряда Фурье, определяемые ими амплитуды и начальные фазы гармоник, или амплитуды косинусных и синусных гармоник связаны соотношением

и являются функциями равноотстоящих дискретных значений частоты, кратных частоте повторения сигнала (k- коэффициент кратности ). Комплексные коэффициенты, рассматриваемые как функции частоты, называют комплексным дискретным спектром; их составляющие, изображаемые графически в зависимости от дискретных значений частоты, т.е. A(kw0) и a(kw0)- амплитудным и фазовым дискретным спектром, а составляющие a(kw0) и b(kw0) - вещественным и мнимым дискретным спектром. Графики дискретных спектров состоят из отрезков вертикальных линий, пропорциональных значениям составляющих и расположенных в точках kw0. Следовательно, периодические функции времени имеют дискретный или линейчатый частотный спектр. Вид этого спектра наглядно позволяет судить о свойствах периодической функции времени. Например, по скорости уменьшения амплитудного спектра можно судить о степени гладкости периодических функций, а по наличию или отсутствию гармоник на высоких частотах - есть ли участки с быстрыми изменениями.

Заметим, что амплитудный и фазовый спектры, равные

являются, соответственно, четной и нечетной функциями частоты.