Примеры расчетов по электротехнике. Выполнение курсовой, контрольной работы Примеры расчетов по электротехнике. Выполнение курсовой, контрольной работы

Разложение по функциям Хаара.

Систему ортонормированных функций Хаара  можно использовать в качестве базисной при разложении в равномерно сходящийся ряд Фурье любой функции, непрерывной на отрезке [0,1]

где 

При использовании функций Хаара в качестве базисных для аппроксимации сигналов S(t) на отрезке [ 0,T] многочленами Фурье безразмерный аргумент x функций Хаара необходимо заменить на ct, где коэффициент c=1/T задает необходимый временной масштаб функций и имеет размерность времени в минус первой степени.

В определении функций Хаара используется понятие двоичных отрезков. Отрезки, которые можно получить делением отрезка [0,1] на  равных частей, называются двоичными. Эти отрезки считаются замкнутыми слева и открытыми справа, если их правый конец отличен от единицы. Если правый конец отрезка равен единице, то отрезок считается замкнутым и справа.

Таким образом, двоичные отрезки - это [0,1], [0,1/2[, [1/2,1], [0,1/4[, [1/4,1/2[, [1/2,3/4[, [3/4,1], [0,1/8[... Отрезки [1/4,3/4[ или [5/8,7/8[ двоичными не считаются, т.к. они не являются следствием разбиения на  частей.

Для двоичных отрезков введем следующее обозначение :

  (26)

где m меняется от 1 до  , а n = 1,2,... (конечно, при  надо считать  замкнутым также справа, поскольку в этом случае ).

Для каждого n выполняется условие

Наряду с двойной нумерацией используют простую нумерацию, полагая , где . Правда, при такой нумерации m=2,3.....(отрезок n=1 отсутствует). Левую и правую половины  условимся обозначать  и , так, что

т.е. в качестве начала отсчета выбираем середину отрезка.

Систему функций Хаара  удобно строить группами : группа номер n содержит функций , m=1,2,3,..., , n=const причем первая функция   остается вне групп.

По определению функции Хаара задаются соотношением

  , при ; (27)

Напомним, что номер функции в разложении Фурье .

Особенностью функций Хаара является сравнительная простота их получения (генерирования в разноустройствах). Базисную систему функций Хаара целесообразно использовать для анализа и синтеза импульсных сигналов конечной длительности.

Ниже изображены первые восемь функций этой системы.