Примеры расчетов по электротехнике. Выполнение курсовой, контрольной работы Примеры расчетов по электротехнике. Выполнение курсовой, контрольной работы

Разложение по полиномам Лаггера.

Для анализа сигналов сложной формы целесообразно выбирать систему функций, обеспечивающую наиболее быструю сходимость ряда Фурье, (т.е. требующую наименьшего числа членов ряда для заданной точности представления колебания).

Сигналы, аналитические выражения которых описываются полиномами или произведениями полиномов на экспоненциальные функции, удобно аппроксимировать ортогональными полиномами ( или функциями) Лаггера.

Полиномы Лаггера являются решением специальных дифференциальных уравнений второго порядка и определяются следующим образом :

  (28)

При этом

Первые 10 порядков полиномов Лаггера имеют вид ( при k³1):

L0(x)=1; L1(x)=-x+1; L2(x)=x2-4x+2; L3(x)=-x3+9x2-18x+6; L4(x)=x4-16x3+72x2-96x+24; L5(x)=x5+25x4-200x3+600x2-600x+120; L6(x)=x6-36x5+450x4-2400x3+5400x2-4320x+720; L7(x)=-x7+49x6-882x5+7350x4-29400x3+52920x2-35820x+5040;L8(x)=x8-64x7+1568x6-8816x5+117600x4-376320x3+564480x2-322560x+40320; L9(x)=-x9+81x8-2592x7+42336x6-381024x5+1905120x4-5080320x3+6531840x2-3265920x+362880.

Полиномы Лаггера ортогональны с весом P(x)=e-x, поскольку только при наличии сомножителя, выполняется условие ортогональности.

Следовательно, ортонормированную систему на интервале [0,[ образуют функции

  (29)

обладающие свойством .

Многочлены вида (29) называют функциями Лаггера. Они образуют полную систему ортонормированных функций. Если в формуле (6) принять , то коэффициенты этого ряда ak можно вычислить по формуле (7).

При аппроксимации функций времени безразмерный аргумент x функций Лаггера должен быть заменен на ct, где коэффициент задает необходимый временной масштаб функций и имеет размерность времени в минус первой степени.

На практике функции Лаггера часто применяют для исследования скачков сигнала, описываемых d - функций и функций Хевисайда :

Эти функции часто применяют для описания процесса включения чего-либо.

1.3.3. Спектральный анализ сигналов.

а) безфильтровый (алгоритмический) метод.

Рассмотрим структурную схему устройства для экспериментального определения коэффициентов разложения аналогового сигнала в обобщенный ряд Фурье (6) по заданной системе ортонормированных базисных функций :

Основными элементами здесь являются генераторы тех базисных функций, по которым производится разложение. Анализируемый сигнал одновременно подается на совокупность множительных звеньев, осуществляющих перемножение этого сигнала и соответствующей базисной функции. С выходов перемножителей сигналы поступают на интеграторы.

При таком методе обработки сигнала в конце промежутка времени интегрирования на выходе каждого интегратора возникает неизменный во времени уровень, величина которого в соответствии с формулой (7) в точности равна тому или иному коэффициенту обобщенного ряда Фурье.

Работоспособность системы в целом будет зависеть от того, насколько точно удается воссоздать базисные функции, а также от совершенства функционирования перемножителей и интеграторов.

Система, реализующая безфильтровый метод спектрального анализа, важна и в прикладном, и в теоретическом смысле. Анализируя ее еще раз убеждаемся, что вся информация, заключенная в сигнале, может быть представлена в виде хотя и бесконечной, но все же счетной совокупности чисел ak.

б) фильтровый метод.

Основан на использовании явления резонанса в высокодобротном контуре. Если на вход такого контура подать периодический сигнал, у которого одна из гармоник спектра вида (19) имеет частоту, совпадающую с резонансной частотой контура, то на выходе контура практически выделится только эта гармоника. При этом выделение гармоники тем лучше, чем меньше полоса пропускания контура по сравнению с частотным интервалом между соседними гармониками анализируемого сигнала.