Примеры расчетов по электротехнике. Выполнение курсовой, контрольной работы Примеры расчетов по электротехнике. Выполнение курсовой, контрольной работы

Эргодичность сигналов.

Стационарные случайные процессы ( процессы, вероятностные характеристики которых не зависят от времени t и зависят только от интервала t2-t1), у которых средние по времени совпадают со средними по множеству, называют эргодическими, а такое свойство процессов - эргодичностью. Например, для эргодических процессов при любом j с вероятностью единица выполняются условия

  (53)

 

Эргодичность процессов имеет важное значение потому, что наблюдение за большим числом реализаций случайного процесса можно заменить наблюдением за одной, по достаточно продолжительной реализацией. Полученные таким образом характеристики процесса ( математическое ожидание, дисперсия, корреляционная функция, спектральная плотность и др.) будут с достаточной точностью совпадать с теми, которые получают путем обработки большого числа реализаций.

1.5.4. Преобразования Хинчина - Винера.

Корреляционные и спектральные характеристики случайного процесса связаны соотношениями Хинчина - Винера :

  (54)

  (55)

где - спектральная плотность случайного процессе.

Эти соотношения являются преобразованиями Фурье для случайных процессов. Особенность их в том, что в интегралах фигурируют не процессы, а их корреляционные функции. Из (54), (55) следует, что дисперсия процесса

  (56)

Интегральной характеристикой спектральной плотности процесса служит ширина спектра

 , (57)

где - максимальное значение . Интеграл (57) - это основание прямоугольника с высотой , площадь которого равна площади под кривой .

Взаимно - корреляционные функции и взаимные спектральные плотности сигналов используют наряду с корреляционной функцией и спектральной плотностью. Взаимно - корреляционная функция двух процессов X1(t) и X2(t)

  (58)

где m1 и m2 - математические ожидания этих процессов.

Взаимная спектральная плотность

  (59)

Если взаимные характеристики полученные усреднением по множеству, совпадают с таковыми, полученными усреднением по времени, то процессы называют совместно - эргoдическими.

Модели случайных сигналов и помех.

Телеграфный сигнал.

Так называют случайную последовательность прямоугольных положительных и отрицательных импульсов со случайными длительностями t1 и t2 и детерминированными амплитудами +s и -s. Если длительности импульсов распределены по показательным законам  и  с параметрами l1 и l2 , то телеграфный сигнал является стационарным случайным процессом, который имеет показательную корреляционную функцию

  (60)

где s2 - дисперсия процесса, a=l1+l2 - параметр, значения которого полностью определяют корреляционные и спектральные свойства телеграфного сигнала.

Телеграфный сигнал обладает важным свойством. Изменением a можно в широком диапазоне изменять корреляционные и спектральные характеристики процесса. Характеристики телеграфного сигнала при a®0 приближаются к характеристикам постоянной составляющей, при a®¥ - к характеристикам белого шума.

Определим интервал корреляции, спектральную плотность и ширину спектра телеграфного сигнала. Интервал корреляции определим по формуле (50) :

  (61).

Из (61) следует, что чем больше a, тем меньше время корреляции процесса. При a®0 Dt®¥ процесс вырождается в детерминированный, а при a®¥ Dt®¥ - в белый шум, у которого все сечения, в том числе и соседние, не коррелированы.

Спектральную плотность телеграфного сигнала определим с помощью (54) :

  (62)

Графики функций K(t) и S(t) имеют вид :

В соответствии с (57) ширина спектра телеграфного сигнала

   (63)

При a®0 Dw®0 процесс вырождается в постоянную составляющую, при a®¥ Dw®¥ - в белый шум, у которого спектральная плотность постоянна в широком диапазоне частот. Для телеграфного сигнала

  DtDF1=1 (64)

Отсюда следует важный вывод, что спектр случайного процесса тем шире, чем меньше интервал корреляции процесса.