Примеры расчетов по электротехнике. Выполнение курсовой, контрольной работы Примеры расчетов по электротехнике. Выполнение курсовой, контрольной работы

Графический метод анализа стационарного режима.

Понятие колебательной характеристики линейной цепи позволяет определить стационарную амплитуду в цепи с обратной связью графическим методом.

По определению, колебательная характеристика есть зависимость амплитуды первой гармоники выходного тока I1 нелинейного элемента от амплитуды U входного гармонического напряжения. Поэтому для графического решения уравнения баланса амплитуд необходима характеристика обратной связи, представляющая собой зависимость амплитуды напряжения обратной связи U от амплитуды тока I1. Поскольку цепь обратной связи линейная, искомая зависимость представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат. Угол наклона ее зависит от способа реализации обратной связи. В нашем случае  и  и прямой обратной связи (см. рис.). Графики будут иметь две точки пересечения: начало координат и некоторую точку UCT, ICT. Эти точки соответствуют двум возможным стационарном состояниям цепи: первая - отсутствию колебаний, вторая - стационарным автоколебаниям с амплитудой UCT. Покажем, что первая точка является неустойчивой. Пусть имеется небольшая начальная флуктуация DU. Ей будет соответствовать появление тока с амплитудой первой гармоники DI1. Этот ток создает в цепи обратной связи напряжение U*, которое приведет к появлению тока I* и т.д. Таким образом, малая начальная флуктуация DU приведет к установлению стационарной ненулевой амплитуды колебаний.

Для того, чтобы нулевая точка была неустойчивой, прямая обратной связи должна проходить в начале координат ниже графика колебательной характеристики:

Это условие самовозбуждения было уже получено из анализа корней характеристического многочлена дифференциального уравнения цепи.

Рассмотренная цепь считается находящейся в мягком режиме самовозбуждения, когда колебания возникает при . Очевидно (из построений), что точка UСТ, IСТ является устойчивой, поскольку любые DU приводят к ее возврату в прежнее положение.

Расположение линии обратной связи по отношении к колебательной характеристике может быть и иным (см. рис.). В этом случае стационарный режим будет при нулевой амплитуде. В цепи, не возникает автоколебаний при любых отклонениях DU.

Если график колебательной характеристики I1(U) имеет S - образную форму (см. след. Рис.), но начальная точка будет устойчивой, однако цепь может самовозбудиться, если в ней возникнет начальная флуктуация DU>Uпар. Режим, когда начальная точка является устойчивой, но существует пороговое значение флуктуаций, превышение которого приводит к самовозбуждению, называется жестким режимом возбуждения генератора.

Таким образом, нелинейная цепь может вести себя по разному при малых и сильных внешних воздействий. Если по линеаризованному дифференциальному уравнению можно установить устойчивость или неустойчивость цепи “в малом”, то анализ колебательной характеристики совместно с прямой обратной связи позволяет провести анализ устойчивости “ в большом” и определить возможность существования жесткого режима возбуждения.

Метод гармонической линеаризации пригоден для анализа цепей с узкополосными фильтрами - колебательными контурами с высокой добротностью. Если же фильтр не является таким контуром, то автоколебания будут возникать не только на первой гармонике, но и на других (w=nw0). При этом ....... колебаний будет негармонической. Для анализа процессов в таких цепях используют метод уравнений состояния и их численное интегрирование.

Анализ автоколебаний методом уравнений состояния

Уравнение (4), получение для автоколебательной цепи, эквивалентно системе уравнений первого порядка:

 (9)

Такое представление уравнений цепи соответствует уравнениям состояния.

В силу нелинейного характера функции I(U) найти решение (9) аналитически нельзя. Для анализа процессов применяют численные методы интегрирования систем дифференциальных уравнений - численное моделирование.

Простейший подход состоит в приближенной замене производной от функции f(t):

Обозначим  получим

  (10)

Предположим, что известна начальная флуктуация iL(0)=i0; V(0)=0. Поскольку функция I(U) может быть вычислена для любых значений аргумента, подставляя в (10), получаем:

Теперь, подставив полученные значения снова в (10), найдем iL2, V2 и т.д. Этот метод приближенного решения носит название метода Эйлера.

Решение системы уравнений вида (10) может быть представлено графически на плоскости состояния (см. рис.).

Рассмотрение процессов в автоколебательных цепях на плоскости состояния часто оказывается более наглядным, чем в другой форме.

Рассмотрим примеры, показывающие взаимосвязь характеристики и линии ОС с траекторией на плоскости состояния и осциллограммы процессов, полученных численным решением уравнений состояния.

1. Автоколебательная цепь в мягком режиме самовозбуждения с монотонным установлением амплитуды.

2. Мягкий режим самовозбуждения с немонотонным установлением амплитуды

3. Жесткий режим с монотонным установлением колебаний

4.6. RC - автогенераторы гармонических колебаний

Гармонические колебания можно получить в системах, не содержащих колебательного контура. Выделение колебания нужной частоты здесь основано на том, что условия самовозбуждения (2) и (3) в ряде случаев могут выполнять только на одной частоте.

Рассмотрим вариант такой системы (см. рис.) состоящий из усилителя с коэффициентом передачи  и цепи обратной связи с коэффициентом передачи . Чтобы воспользоваться формами (2) и (3) примем, что  и определим . Для этого воспользуемся методом контурных токов, в соответствии с которым составим систему уравнений, связывающих

решая эту систему относительно , находим

Так как  то

  (11)

Так как фазовый сдвиг, вносимый усилителем, составляет p рад, то условие самовозбуждения (3) будет выполнено, если jOC(w)=arctg(Im/Re)=.

Как следует из (11) последнее выполняется при условии

Откуда для частоты генерации находим:

  (12)

Подставляя (12) в (11) находим значения модуля передаточной функции:

(13)

Используя (13) в (2) находим коэффициент усиления усилителя, при котором возможна генерация:

Аналогичным образом анализируется и другие схемы RC - автогенераторов.